Achar a distância entre r1 e r2 nos casos: lll r1: x=2-t & y=3+t & z=1-2 t r2: x=t & y=-1-3 t & z=2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre as duas retas dadas pelas equações paramétricas de r1 e r2. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica no espaço. Para resolver, vamos precisar entender as direções das retas e usar uma fórmula específica para calcular a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direção de cada reta. Olha só:
Para r1:
v1 = -1 1 -2
Isso vem dos coeficientes de t nas equações paramétricas.
Para r2:
v2 = 1 -3 2
Igualmente, são os coeficientes de t.

Passo 3

Agora, pegamos um ponto em cada reta. Pode ser quando t = 0:
Para r1, quando t=0:
P1 = (2, 3, 1)
Para r2, quando t=0:
P2 = (0, -1, 0)

Passo 4

Vamos calcular o vetor que vai de P1 até P2. Isso é só subtrair as coordenadas:
P2P1 = P2 - P1 = 0 - 2 -1 - 3 0 - 1 = -2 -4 -1

Passo 5

A próxima etapa é encontrar o produto vetorial dos vetores direção v1 e v2. Esse produto vetorial nos dá um vetor perpendicular às duas retas:
v1 times v2 = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 = i(1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) - j((-1) cdot 2 - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-3) - 1 cdot 1)
Calculando:
v1 times v2 = i(2 - 6) - j(-2 + 2) + k(3 - 1) = -4 0 2

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor P2P1 e o produto vetorial que acabamos de encontrar:
P2P1 cdot (v1 times v2) = -2 -4 -1 cdot -4 0 2 = (-2)(-4) + (-4)(0) + (-1)(2) = 8 + 0 - 2 = 6

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial v1 times v2:
|v1 times v2| = raiz(-4)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Passo 8

Finalmente, a distância d entre as duas retas é dada por:
d = |P2P1 cdot (v1 times v2)||v1 times v2| = |6|2raiz5 = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55

Resposta

A distância entre as retas r1 e r2 é dfrac3raiz55 unidades.

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