Determine um vetor normal ao plano:
d) alpha:lx=1+t+h y=1-t+2 h z=h, h, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as equações paramétricas de um plano e pede para encontrarmos um vetor normal a esse plano. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar dois vetores que estão no plano e depois encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos esses vetores, ou seja, o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores do plano a partir das equações paramétricas. As equações são dadas por:
x = 1 + t + h y = 1 - t + 2h z = h
Aqui, e são os parâmetros que variam em . Podemos considerar e como parâmetros independentes que geram diferentes pontos no plano. Para cada parâmetro, teremos um vetor diretor.

Passo 3

Vamos derivar dois vetores diretores tomando como parâmetros u = partial xpartial t partial ypartial t partial zpartial t = 1 -1 0 e v = partial xpartial h partial ypartial h partial zpartial h = 1 2 1 separadamente:
  • Quando varia e fica constante, temos o vetor diretor relacionado a :
  • Quando varia e fica constante, temos o vetor diretor relacionado a :

Passo 4

Agora que temos dois vetores diretores ( n = u times v = i & j & k 1 & -1 & 0 1 & 2 & 1 e n = i cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 2) - j cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot 1) = i cdot (-1) - j cdot (1) + k cdot (3) ) que estão no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano calculando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de n = -1 -1 3 e é dado por:
Calculando o determinante:
Assim,

Resposta

Um vetor normal ao plano -1 -1 3 é .

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