Determine um vetor normal ao plano:
d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as equações paramétricas de um plano e pede para encontrarmos um vetor normal a esse plano. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar dois vetores que estão no plano e depois encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos esses vetores, ou seja, o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores do plano a partir das equações paramétricas. As equações são dadas por:
Aqui, e são os parâmetros que variam em . Podemos considerar e como parâmetros independentes que geram diferentes pontos no plano. Para cada parâmetro, teremos um vetor diretor.

Passo 3

Vamos derivar dois vetores diretores tomando como parâmetros e separadamente:
  • Quando varia e fica constante, temos o vetor diretor relacionado a :
  • Quando varia e fica constante, temos o vetor diretor relacionado a :

Passo 4

Agora que temos dois vetores diretores ( e ) que estão no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano calculando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de e é dado por:
Calculando o determinante:
Assim,

Resposta

Um vetor normal ao plano é .

Exercícios relacionados

Se e encontre
b)
Escreva as equações paramétricas do plano nos casos a seguir.
b) passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor , sendo e .
Achar a distância entre e nos casos: