Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa encontrar os traços do plano (α), ou seja, os pontos onde o plano intercepta os eixos x, y e z. Para isso, vamos usar as coordenadas dos pontos A, B e C que definem o plano. O conteúdo que vamos utilizar aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos entender como determinar a equação de um plano a partir de três pontos e como achar os interceptos desse plano com os eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos:
A = (-2, -1, -4)
B = (-6, -2, -1)
C = (-4, 0, -4)
Esses três pontos estão no plano (α) que queremos determinar.
Passo 3
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter esse vetor normal calculando o produto vetorial dos vetores AB e AC.
Vamos calcular os vetores AB e AC:
Vetor AB = B - A = (-6 - (-2), -2 - (-1), -1 - (-4)) = (-4, -1, 3)
Vetor AC = C - A = (-4 - (-2), 0 - (-1), -4 - (-4)) = (-2, 1, 0)
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial de AB e AC para encontrar o vetor normal (n):
Então, o vetor normal é . Podemos simplificar dividindo por -3: .
Passo 5
Com o vetor normal e um ponto do plano (vamos usar o ponto A), podemos escrever a equação do plano. A equação geral do plano é:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Substituindo os valores:
1(x + 2) + 2(y + 1) + 2(z + 4) = 0
Simplificando:
x + 2 + 2y + 2 + 2z + 8 = 0 x + 2y + 2z + 12 = 0
Então, a equação do plano é:
x + 2y + 2z + 12 = 0
Passo 6
Agora, vamos encontrar os traços do plano, ou seja, onde ele intercepta os eixos x, y e z.