Determine os traços do plano ( alpha ), definido pela reta (A)(B) e pelo ponto ©. Considere:
(A) [-2 ;-1 ;-4]
(B) [-6 ;-2 ;-1] ; e
© [-4 ; 0 ;-4].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa encontrar os traços do plano (α), ou seja, os pontos onde o plano intercepta os eixos x, y e z. Para isso, vamos usar as coordenadas dos pontos A, B e C que definem o plano. O conteúdo que vamos utilizar aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos entender como determinar a equação de um plano a partir de três pontos e como achar os interceptos desse plano com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos:
  • A = (-2, -1, -4)
  • B = (-6, -2, -1)
  • C = (-4, 0, -4)
Esses três pontos estão no plano (α) que queremos determinar.

Passo 3

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter esse vetor normal calculando o produto vetorial dos vetores AB e AC.
Vamos calcular os vetores AB e AC:
  • Vetor AB = B - A = (-6 - (-2), -2 - (-1), -1 - (-4)) = (-4, -1, 3)
  • Vetor AC = C - A = (-4 - (-2), 0 - (-1), -4 - (-4)) = (-2, 1, 0)

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial de AB e AC para encontrar o vetor normal (n):
n = AB times AC = i & j & k -4 & -1 & 3 -2 & 1 & 0 = i((-1)(0) - (3)(1)) - j((-4)(0) - (3)(-2)) + k((-4)(1) - (-1)(-2)) = (-3)i - (6)j + (-6)k
Então, o vetor normal é . Podemos simplificar dividindo por -3: .

Passo 5

Com o vetor normal e um ponto do plano (vamos usar o ponto A), podemos escrever a equação do plano. A equação geral do plano é:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Substituindo os valores:
1(x + 2) + 2(y + 1) + 2(z + 4) = 0
Simplificando:
x + 2 + 2y + 2 + 2z + 8 = 0 x + 2y + 2z + 12 = 0
Então, a equação do plano é:
x + 2y + 2z + 12 = 0

Passo 6

Agora, vamos encontrar os traços do plano, ou seja, onde ele intercepta os eixos x, y e z.
Interseção com o eixo x (quando y = 0 e z = 0):
x + 2(0) + 2(0) + 12 = 0 x + 12 = 0 x = -12
Então, o traço no eixo x é o ponto (-12, 0, 0).
Interseção com o eixo y (quando x = 0 e z = 0):
0 + 2y + 2(0) + 12 = 0 2y + 12 = 0 2y = -12 y = -6
Então, o traço no eixo y é o ponto (0, -6, 0).
Interseção com o eixo z (quando x = 0 e y = 0):
0 + 2(0) + 2z + 12 = 0 2z + 12 = 0 2z = -12 z = -6
Então, o traço no eixo z é o ponto (0, 0, -6).

Resposta

Os traços do plano (α) são:
  • No eixo x: (-12, 0, 0)
  • No eixo y: (0, -6, 0)
  • No eixo z: (0, 0, -6)

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