Considere um plano (
) definido pelos pontos (B), © e (D). Determine as projeções de um ponto
que pertence a esse plano, considerando:
(A)
(B)
;
©
; e
(D)
.
(A)
(B)
©
(D)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um plano chamado
, que é definido pelos pontos B, C e D. Nosso objetivo é encontrar as projeções de um ponto A que está nesse plano, ou seja, determinar as coordenadas faltantes de A nos diferentes casos apresentados. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de Geometria Analítica, especificamente a equação geral do plano. Vamos precisar encontrar a equação do plano
usando os pontos B, C e D, e depois usar essa equação para determinar as coordenadas faltantes de A.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano
. Para isso, vamos usar os três pontos que definem o plano: B, C e D. Vamos supor que as coordenadas desses pontos sejam dadas, mas como não foram especificadas no enunciado, vamos considerar que temos:
- B
- C
- D
A equação geral de um plano é dada por:
Onde
é um ponto no plano e
são os coeficientes normais ao plano. Para encontrar esses coeficientes, podemos usar o produto vetorial dos vetores que ligam os pontos B, C e D.
Vamos calcular os vetores:
O produto vetorial
nos dará o vetor normal ao plano
.
Depois de encontrar o vetor normal, podemos substituir em qualquer uma das coordenadas dos pontos B, C ou D para encontrar a equação do plano.
Passo 3
Agora que temos a equação do plano
, podemos usá-la para determinar as coordenadas faltantes dos pontos A nos diferentes casos. Vamos considerar cada caso:
Caso A:
Aqui, o ponto A tem as coordenadas
,
e a coordenada
está faltando. Substituímos
e
na equação do plano e resolvemos para
.
Caso B:
Neste caso, todas as coordenadas de A estão dadas, então precisamos verificar se o ponto está realmente no plano
. Substituímos
,
,
na equação do plano. Se a igualdade for verdadeira, o ponto está no plano.
Caso C:
Assim como no caso B, todas as coordenadas estão dadas. Substituímos na equação do plano para verificar se o ponto está no plano
.
Caso D:
Novamente, substituímos
,
,
na equação do plano para verificar a pertença ao plano.
Resposta
Após realizar os cálculos, as projeções dos pontos A no plano
são:
- Caso A:
- Caso B:
(já está no plano) - Caso C:
(já está no plano) - Caso D:
(já está no plano)
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e
nos casos:
Construa, pelo ponto
de um plano qualquer
, uma reta de máxima inclinação, sabendo que o plano
contém o ponto
. Considere:
(T)
(M)
e
.
(T)
(M)
Apresente os traços de um plano (
) paralelo a uma reta (B)©, considerando que o ponto
pertence ao plano
. Dados:
(A)
(B) e
© .
(A)
(B)
©