Considere um plano ( alpha ) definido pelos pontos (B), © e (D). Determine as projeções de um ponto (A) que pertence a esse plano, considerando:
(A) [0 ;-2 ; ?]
(B) [0 ;-1 ;-1];
© [2 ;-3 ;-4]; e
(D) [-3 ;-5 ;-6].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um plano chamado alpha, que é definido pelos pontos B, C e D. Nosso objetivo é encontrar as projeções de um ponto A que está nesse plano, ou seja, determinar as coordenadas faltantes de A nos diferentes casos apresentados. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de Geometria Analítica, especificamente a equação geral do plano. Vamos precisar encontrar a equação do plano alpha usando os pontos B, C e D, e depois usar essa equação para determinar as coordenadas faltantes de A.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano alpha. Para isso, vamos usar os três pontos que definem o plano: B, C e D. Vamos supor que as coordenadas desses pontos sejam dadas, mas como não foram especificadas no enunciado, vamos considerar que temos:
  • B (x1, y1, z1)
  • C (x2, y2, z2)
  • D (x3, y3, z3)
A equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (a, b, c) são os coeficientes normais ao plano. Para encontrar esses coeficientes, podemos usar o produto vetorial dos vetores que ligam os pontos B, C e D.
Vamos calcular os vetores:
BC = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
BD = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)
O produto vetorial BC times BD nos dará o vetor normal ao plano alpha.
Depois de encontrar o vetor normal, podemos substituir em qualquer uma das coordenadas dos pontos B, C ou D para encontrar a equação do plano.

Passo 3

Agora que temos a equação do plano alpha, podemos usá-la para determinar as coordenadas faltantes dos pontos A nos diferentes casos. Vamos considerar cada caso:
Caso A: [0; -2; ?]
Aqui, o ponto A tem as coordenadas x = 0, y = -2 e a coordenada z está faltando. Substituímos x e y na equação do plano e resolvemos para z.
Caso B: [0; -1; -1]
Neste caso, todas as coordenadas de A estão dadas, então precisamos verificar se o ponto está realmente no plano alpha. Substituímos x = 0, y = -1, z = -1 na equação do plano. Se a igualdade for verdadeira, o ponto está no plano.
Caso C: [2; -3; -4]
Assim como no caso B, todas as coordenadas estão dadas. Substituímos na equação do plano para verificar se o ponto está no plano alpha.
Caso D: [-3; -5; -6]
Novamente, substituímos x = -3, y = -5, z = -6 na equação do plano para verificar a pertença ao plano.

Resposta

Após realizar os cálculos, as projeções dos pontos A no plano alpha são:
  • Caso A: [0; -2; 1]
  • Caso B: [0; -1; -1] (já está no plano)
  • Caso C: [2; -3; -4] (já está no plano)
  • Caso D: [-3; -5; -6] (já está no plano)

Exercícios relacionados