Considere um plano ( ) definido pelos pontos (B), © e (D). Determine as projeções de um ponto que pertence a esse plano, considerando:
(A)
(B) ;
© ; e
(D) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um plano chamado , que é definido pelos pontos B, C e D. Nosso objetivo é encontrar as projeções de um ponto A que está nesse plano, ou seja, determinar as coordenadas faltantes de A nos diferentes casos apresentados. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de Geometria Analítica, especificamente a equação geral do plano. Vamos precisar encontrar a equação do plano usando os pontos B, C e D, e depois usar essa equação para determinar as coordenadas faltantes de A.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano . Para isso, vamos usar os três pontos que definem o plano: B, C e D. Vamos supor que as coordenadas desses pontos sejam dadas, mas como não foram especificadas no enunciado, vamos considerar que temos:
  • B
  • C
  • D
A equação geral de um plano é dada por:
Onde é um ponto no plano e são os coeficientes normais ao plano. Para encontrar esses coeficientes, podemos usar o produto vetorial dos vetores que ligam os pontos B, C e D.
Vamos calcular os vetores:
O produto vetorial nos dará o vetor normal ao plano .
Depois de encontrar o vetor normal, podemos substituir em qualquer uma das coordenadas dos pontos B, C ou D para encontrar a equação do plano.

Passo 3

Agora que temos a equação do plano , podemos usá-la para determinar as coordenadas faltantes dos pontos A nos diferentes casos. Vamos considerar cada caso:
Caso A:
Aqui, o ponto A tem as coordenadas , e a coordenada está faltando. Substituímos e na equação do plano e resolvemos para .
Caso B:
Neste caso, todas as coordenadas de A estão dadas, então precisamos verificar se o ponto está realmente no plano . Substituímos , , na equação do plano. Se a igualdade for verdadeira, o ponto está no plano.
Caso C:
Assim como no caso B, todas as coordenadas estão dadas. Substituímos na equação do plano para verificar se o ponto está no plano .
Caso D:
Novamente, substituímos , , na equação do plano para verificar a pertença ao plano.

Resposta

Após realizar os cálculos, as projeções dos pontos A no plano são:
  • Caso A:
  • Caso B: (já está no plano)
  • Caso C: (já está no plano)
  • Caso D: (já está no plano)

Exercícios relacionados

Achar a distância entre e nos casos:
Construa, pelo ponto de um plano qualquer , uma reta de máxima inclinação, sabendo que o plano contém o ponto . Considere:
(T)
(M)
e
.
Apresente os traços de um plano ( ) paralelo a uma reta (B)©, considerando que o ponto pertence ao plano . Dados:
(A)
(B) e
© .