Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:
(f) P(1,2,3) r:lx=1 y=t z=-1 Resp: 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a distância do ponto até a reta definida pelas equações , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer na reta . Olhando as equações paramétricas, quando , temos o ponto . Esse ponto vai nos ajudar a calcular a distância.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que vai de QP = (1-1, 2-0, 3-(-1)) = (0, 2, 4) até . Subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 4

Em seguida, precisamos do vetor diretor da reta v = (0, 1, 0) . Observando as equações paramétricas, percebemos que conforme varia, apenas muda linearmente. Então, o vetor diretor é:

Passo 5

Para encontrar a distância, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço:
Distância = ||QP times v||||v|| â
Aqui, representa o produto vetorial e é o módulo do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial QP times v = i & j & k 0 & 2 & 4 0 & 1 & 0 = i(2 cdot 0 - 4 cdot 1) - j(0 cdot 0 - 4 cdot 0) + k(0 cdot 1 - 2 cdot 0) :
= i(-4) - j(0) + k(0) = (-4, 0, 0)

Passo 7

Agora, calculamos o módulo do vetor resultante:
||QP times v|| = raiz(-4)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz16 = 4

Passo 8

Também precisamos do módulo do vetor diretor ||v|| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = 41 = 4 â

Resposta

A distância do ponto à reta é .

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