Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano alpha.
(a) r:lx=3 t y=1-2 t z=-t e alpha: 2 x+3 y-2 z-7=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A gente precisa encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Para isso, vamos usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta x = 3t y = 1 - 2t z = -t está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

O plano 2x + 3y - 2z - 7 = 0 é dado pela equação:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que o ponto da reta esteja no plano .

Passo 4

Para isso, vamos substituir as expressões de 2(3t) + 3(1 - 2t) - 2(-t) - 7 = 0 , e das equações da reta na equação do plano:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação:
6t + 3 - 6t + 2t - 7 = 0
(6t - 6t + 2t) + (3 - 7) = 0
2t - 4 = 0

Passo 6

Resolvendo para 2t = 4 t = 2 :

Passo 7

Com o valor de x = 3(2) = 6 y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 z = -2 , substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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