Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u=(1,1,0) e v=(-1,2,2).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial. Nosso objetivo é encontrar um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal aos vetores u = (1, 1, 0) e v = (-1, 2, 2). Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a u quanto a v. Isso a gente consegue fazendo o produto vetorial entre esses dois vetores. O produto vetorial de u e v é dado por:
u times v = i & j & k 1 & 1 & 0 -1 & 2 & 2

Passo 3

Vamos calcular o determinante para encontrar o produto vetorial:
u times v = i(1 cdot 2 - 0 cdot 2) - j(1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 2 - (-1) cdot 1)
Simplificando cada componente:
u times v = i(2 - 0) - j(2 - 0) + k(2 + 1) = 2i - 2j + 3k
Então, o vetor ortogonal é w = (2, -2, 3).

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos calcular o módulo de w:
|w| = raiz2^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz4 + 4 + 9 = raiz17

Passo 5

Com o módulo, podemos encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de w pelo seu módulo:
uw = ( 2raiz17, -2raiz17, 3raiz17 )

Resposta

Um vetor unitário ortogonal aos vetores u e v é:
uw = ( 2raiz17, -2raiz17, 3raiz17 )

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