Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar a distância do ponto até a reta definida pelas equações e . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Para isso, vamos precisar identificar um ponto da reta e o vetor diretor da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um ponto qualquer que pertença à reta . Como e , podemos escolher um valor para e encontrar os demais componentes. Vamos escolher :
Então, um ponto na reta é .
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta . A reta está definida parametricamente por:
Podemos expressar em termos de um parâmetro :
Portanto, o vetor diretor é:
Passo 4
Com o ponto e o vetor diretor , vamos calcular o vetor que vai de até o ponto . Esse vetor é dado por:
Passo 5
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta no espaço é:
Aqui, representa o produto vetorial, e representa a norma (ou comprimento) do vetor. Vamos calcular o produto vetorial .
Passo 6
Calculando o produto vetorial:
= i(2 + 4) - j(3 + 2) + k(6 - 2)
= 6i - 5j + 4k
Então,
AP times u = (6, -5, 4)
Passo 7
Agora, vamos calcular a norma de | AP times u | = raiz6^2 + (-5)^2 + 4^2 = raiz36 + 25 + 16 = raiz77 :