Achar a distância do ponto P a reta r nos casos: P=(3,2,1) r:ly=2 x z=x+3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar a distância do ponto até a reta definida pelas equações e . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Para isso, vamos precisar identificar um ponto da reta e o vetor diretor da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto qualquer que pertença à reta y = 2(0) = 0 z = 0 + 3 = 3 . Como e , podemos escolher um valor para e encontrar os demais componentes. Vamos escolher :
Então, um ponto na reta é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta y = 2x z = x + 3 . A reta está definida parametricamente por:
x = t y = 2t z = t + 3
Podemos expressar u = (1, 2, 1) em termos de um parâmetro :
Portanto, o vetor diretor é:

Passo 4

Com o ponto AP = P - A = (3 - 0, 2 - 0, 1 - 3) = (3, 2, -2) e o vetor diretor , vamos calcular o vetor que vai de até o ponto . Esse vetor é dado por:

Passo 5

A fórmula para a distância d = | AP times u | | u | de um ponto a uma reta no espaço é:
Aqui, representa o produto vetorial, e representa a norma (ou comprimento) do vetor. Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 6

Calculando o produto vetorial:
AP times u = i & j & k 3 & 2 & -2 1 & 2 & 1 = i(2 cdot 1 - (-2) cdot 2) - j(3 cdot 1 - (-2) cdot 1) + k(3 cdot 2 - 2 cdot 1)
= i(2 + 4) - j(3 + 2) + k(6 - 2)
= 6i - 5j + 4k
Então,
AP times u = (6, -5, 4)

Passo 7

Agora, vamos calcular a norma de | AP times u | = raiz6^2 + (-5)^2 + 4^2 = raiz36 + 25 + 16 = raiz77 :
| u | = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
E a norma do vetor diretor :

Resposta

Finalmente, a distância d = raiz77 raiz6 = raiz 776 approx 3,61 unidades é:

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