Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases para o espaço tridimensional : a base e a base padrão . Além disso, sabemos que o vetor tem coordenadas na base . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base , ou seja, determinar . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que na base padrão , o vetor é uma combinação linear dos vetores dessa base com os coeficientes 3, 4 e 5. Ou seja:
Então, o vetor no espaço é .
Passo 3
Agora, queremos expressar esse mesmo vetor na base , onde:
Queremos encontrar os coeficientes , e tais que:
Isso pode ser escrito em forma matricial como:
Vamos chamar a matriz dos vetores da base de :
Passo 4
Para encontrar os coeficientes , e , precisamos resolver o sistema de equações representado por , onde e .
Uma maneira eficiente de resolver isso é encontrando a inversa da matriz , denotada por , e então multiplicando ambos os lados da equação por :
Vamos calcular .
Passo 5
Para encontrar a matriz inversa , vamos usar o método da matriz adjunta ou usar uma calculadora de matrizes. Calculando a inversa de :
Passo 6
Agora, multiplicamos a matriz inversa pelo vetor :