Considere e bases para . Se
determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases para o espaço tridimensional : a base e a base padrão . Além disso, sabemos que o vetor tem coordenadas na base . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base , ou seja, determinar . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que na base padrão , o vetor é uma combinação linear dos vetores dessa base com os coeficientes 3, 4 e 5. Ou seja:
Então, o vetor no espaço é .

Passo 3

Agora, queremos expressar esse mesmo vetor na base , onde:
Queremos encontrar os coeficientes , e tais que:
Isso pode ser escrito em forma matricial como:
Vamos chamar a matriz dos vetores da base de :

Passo 4

Para encontrar os coeficientes , e , precisamos resolver o sistema de equações representado por , onde e .
Uma maneira eficiente de resolver isso é encontrando a inversa da matriz , denotada por , e então multiplicando ambos os lados da equação por :
Vamos calcular .

Passo 5

Para encontrar a matriz inversa , vamos usar o método da matriz adjunta ou usar uma calculadora de matrizes. Calculando a inversa de :

Passo 6

Agora, multiplicamos a matriz inversa pelo vetor :
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As coordenadas do vetor na base são:

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Considere o plano de equação e a reta de equação .
Mostre que .
Achar a distância do ponto a reta nos casos: .
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Considere os planos .
Mostre que e não são paralelos.