Considere beta=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) e beta^prime=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) bases para R^3. Se
vbeta^prime=(l 3 4 5 )
determine vbeta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases para o espaço tridimensional R^3: a base beta = (1,1,1), (-1,1,0), (1,0,-1) e a base padrão beta' = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Além disso, sabemos que o vetor v tem coordenadas vbeta' = 3 4 5 na base beta'. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor v na base beta, ou seja, determinar vbeta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vbeta' = 3 4 5 . Isso quer dizer que na base padrão beta', o vetor v é uma combinação linear dos vetores dessa base com os coeficientes 3, 4 e 5. Ou seja:
v = 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 5(0,0,1) = (3,4,5)
Então, o vetor v no espaço R^3 é (3,4,5).

Passo 3

Agora, queremos expressar esse mesmo vetor v na base beta = b1, b2, b3, onde:
b1 = (1,1,1), b2 = (-1,1,0), b3 = (1,0,-1)
Queremos encontrar os coeficientes c1, c2 e c3 tais que:
v = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3
Isso pode ser escrito em forma matricial como:
1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 c1 c2 c3 = 3 4 5
Vamos chamar a matriz dos vetores da base beta de B:
B = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1

Passo 4

Para encontrar os coeficientes c1, c2 e c3, precisamos resolver o sistema de equações representado por B cdot c = v, onde c = c1 c2 c3 e v = 3 4 5 .
Uma maneira eficiente de resolver isso é encontrando a inversa da matriz B, denotada por B^-1, e então multiplicando ambos os lados da equação por B^-1:
B^-1 B cdot c = B^-1 v implies c = B^-1 v
Vamos calcular B^-1.

Passo 5

Para encontrar a matriz inversa B^-1, vamos usar o método da matriz adjunta ou usar uma calculadora de matrizes. Calculando a inversa de B:
B^-1 = 12 & -12 & 12 12 & 12 & 12 12 & 12 & -12

Passo 6

Agora, multiplicamos a matriz inversa B^-1 pelo vetor v:
c = B^-1 v = 12 & -12 & 12 12 & 12 & 12 12 & 12 & -12 3 4 5
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
Para c1:
c1 = 12(3) + (-12)(4) + 12(5) = 32 - 2 + 52 = 3 - 4 + 52 = 42 = 2
Para c2:
c2 = 12(3) + 12(4) + 12(5) = 3 + 4 + 52 = 122 = 6
Para c3:
c3 = 12(3) + 12(4) + (-12)(5) = 3 + 4 - 52 = 22 = 1

Resposta

As coordenadas do vetor v na base beta são:
vbeta = 2 6 1

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