Seja P2(R)=a x^2+b x+c ; a, b, c in R. Considere a transformação linear T: P2(R) P2(R), tal que T(1)=1+x, T(x)=3-x^2 e T(x^2)=4+2 x-3 x^2.
Determine a matriz de T na base canônica 1, x, x^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço de polinômios de grau até 2, denotado por , que basicamente inclui todos os polinômios da forma , onde , e são números reais. Nos foi dada uma transformação linear que transforma esses polinômios de uma maneira específica:
O que precisamos fazer é encontrar a matriz dessa transformação na base canônica . Para isso, vamos seguir alguns passos para entender como a transformação age em cada vetor da base e construir a matriz com essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a matriz de uma transformação linear em uma base específica. A ideia é ver como a transformação T(1) = 1 + x age em cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear desses vetores da base. Os coeficientes dessas combinações serão os elementos da matriz que queremos encontrar.
Então, começamos aplicando 1 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2 a cada vetor da base:
  1. Aplicando T(x) = 3 - x^2 em 3 cdot 1 + 0 cdot x - 1 cdot x^2 :
    T(x^2) = 4 + 2x - 3x^2
    Isso significa que, na base 4 cdot 1 + 2 cdot x - 3 cdot x^2 , pode ser representado como:
    Então, os coeficientes são .
  2. Aplicando em :
    Na base, isso é:
    Os coeficientes são .
  3. Aplicando em :
    E na base:
    Os coeficientes são .

Passo 3

Agora que temos as imagens de cada vetor da base expressas em termos da base canônica, podemos construir a matriz da transformação . Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes correspondentes à imagem de cada vetor da base.
Organizando os coeficientes que encontramos:
  • A imagem de deu os coeficientes .
  • A imagem de deu os coeficientes .
  • A imagem de deu os coeficientes .
Então, a matriz de na base será uma matriz onde cada coluna corresponde a esses coeficientes.

Resposta

A matriz da transformação 1 & 3 & 4 1 & 0 & 2 0 & -1 & -3 na base canônica é:

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