Seja
. Considere a transformação linear
, tal que
e
.
Determine a matriz de
na base canônica
.
Determine a matriz de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço de polinômios de grau até 2, denotado por
, que basicamente inclui todos os polinômios da forma
, onde
,
e
são números reais. Nos foi dada uma transformação linear
que transforma esses polinômios de uma maneira específica:
O que precisamos fazer é encontrar a matriz dessa transformação
na base canônica
. Para isso, vamos seguir alguns passos para entender como a transformação age em cada vetor da base e construir a matriz com essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a matriz de uma transformação linear em uma base específica. A ideia é ver como a transformação
age em cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear desses vetores da base. Os coeficientes dessas combinações serão os elementos da matriz que queremos encontrar.
Então, começamos aplicando
a cada vetor da base:
-
Aplicando
em : Isso significa que, na base, pode ser representado como: Então, os coeficientes são. -
Aplicando
em : Na base, isso é:Os coeficientes são. -
Aplicando
em : E na base:Os coeficientes são.
Passo 3
Agora que temos as imagens de cada vetor da base expressas em termos da base canônica, podemos construir a matriz da transformação
. Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes correspondentes à imagem de cada vetor da base.
Organizando os coeficientes que encontramos:
- A imagem de
deu os coeficientes . - A imagem de
deu os coeficientes . - A imagem de
deu os coeficientes .
Então, a matriz de
na base
será uma matriz
onde cada coluna corresponde a esses coeficientes.
Resposta
A matriz da transformação
na base canônica
é: