Seja . Considere a transformação linear , tal que e .
Determine a matriz de na base canônica .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço de polinômios de grau até 2, denotado por , que basicamente inclui todos os polinômios da forma , onde , e são números reais. Nos foi dada uma transformação linear que transforma esses polinômios de uma maneira específica:
O que precisamos fazer é encontrar a matriz dessa transformação na base canônica . Para isso, vamos seguir alguns passos para entender como a transformação age em cada vetor da base e construir a matriz com essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a matriz de uma transformação linear em uma base específica. A ideia é ver como a transformação age em cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear desses vetores da base. Os coeficientes dessas combinações serão os elementos da matriz que queremos encontrar.
Então, começamos aplicando a cada vetor da base:
Aplicando em :
Isso significa que, na base , pode ser representado como:
Então, os coeficientes são .
Aplicando em :
Na base, isso é:
Os coeficientes são .
Aplicando em :
E na base:
Os coeficientes são .
Passo 3
Agora que temos as imagens de cada vetor da base expressas em termos da base canônica, podemos construir a matriz da transformação . Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes correspondentes à imagem de cada vetor da base.
Organizando os coeficientes que encontramos:
A imagem de deu os coeficientes .
A imagem de deu os coeficientes .
A imagem de deu os coeficientes .
Então, a matriz de na base será uma matriz onde cada coluna corresponde a esses coeficientes.