Considere o plano de equação x+2 y z=3 e a reta r de equação (x, y, z)= (2,1,1)+t(2,1,4).
Mostre que r subset.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano com a equação e uma reta definida por . O objetivo aqui é mostrar que todos os pontos da reta estão dentro desse plano, ou seja, plano. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra vetorial e substituir as equações da reta na do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação da reta. A reta x = 2 + 2t está descrita de forma paramétrica, onde y = 1 + t é o parâmetro. Isso quer dizer que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de z = 1 + 4t . Assim, temos:

Passo 3

Agora, queremos verificar se esses pontos estão no plano (2 + 2t) + 2(1 + t) + (1 + 4t) = 3 . Para isso, vamos substituir as expressões de , e na equação do plano e ver se a igualdade se mantém para todo valor de .
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
  1. Multiplique os termos:
2 + 2t + 2 + 2t + 1 + 4t = 3
  1. Some os termos semelhantes:
(2 + 2 + 1) + (2t + 2t + 4t) = 3
5 + 8t = 3

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para 5 + 8t = 3 :
8t = 3 - 5
8t = -2
t = -28
t = -14

Passo 6

Obtivemos que . Isso significa que apenas para esse valor específico de , o ponto da reta está no plano. Porém, como pode variar livremente, existem infinitos pontos na reta que não satisfazem a equação do plano.

Resposta

A reta não está completamente contida no plano . Apenas para um ponto específico da reta pertence ao plano.

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