Considere o plano de equação e a reta de equação .
Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano com a equação e uma reta definida por . O objetivo aqui é mostrar que todos os pontos da reta estão dentro desse plano, ou seja, plano. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra vetorial e substituir as equações da reta na do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação da reta. A reta está descrita de forma paramétrica, onde é o parâmetro. Isso quer dizer que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de . Assim, temos:

Passo 3

Agora, queremos verificar se esses pontos estão no plano . Para isso, vamos substituir as expressões de , e na equação do plano e ver se a igualdade se mantém para todo valor de .
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
  1. Multiplique os termos:
  1. Some os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para :

Passo 6

Obtivemos que . Isso significa que apenas para esse valor específico de , o ponto da reta está no plano. Porém, como pode variar livremente, existem infinitos pontos na reta que não satisfazem a equação do plano.

Resposta

A reta não está completamente contida no plano . Apenas para um ponto específico da reta pertence ao plano.

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Achar a distância do ponto a reta nos casos: .
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Determine a matriz de na base canônica .
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determine .
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