Considere o plano de equação e a reta de equação .
Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano com a equação e uma reta definida por . O objetivo aqui é mostrar que todos os pontos da reta estão dentro desse plano, ou seja, plano. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra vetorial e substituir as equações da reta na do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação da reta. A reta está descrita de forma paramétrica, onde é o parâmetro. Isso quer dizer que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de . Assim, temos:
Passo 3
Agora, queremos verificar se esses pontos estão no plano . Para isso, vamos substituir as expressões de , e na equação do plano e ver se a igualdade se mantém para todo valor de .
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Multiplique os termos:
Some os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para :
Passo 6
Obtivemos que . Isso significa que apenas para esse valor específico de , o ponto da reta está no plano. Porém, como pode variar livremente, existem infinitos pontos na reta que não satisfazem a equação do plano.
Resposta
A reta não está completamente contida no plano . Apenas para um ponto específico da reta pertence ao plano.