Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine o plano que contém e é perpendicular a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano com a equação e uma reta que é dada por . O que a gente precisa descobrir é um plano que contenha essa reta e que seja perpendicular ao plano dado. Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um plano ser perpendicular a outro. Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares. O vetor normal de um plano é aquele que está nos coeficientes de , e na equação do plano.
No caso do plano dado, , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos pensar no plano que a gente quer encontrar. Esse plano precisa:
  1. Conter a reta : Isso significa que o vetor direcional da reta, que é , precisa estar no plano. Portanto, o vetor normal do nosso novo plano deve ser perpendicular a .
  2. Ser perpendicular ao plano dado: Como mencionamos antes, isso implica que o vetor normal do nosso novo plano deve ser perpendicular ao vetor normal do plano dado .

Passo 4

Para encontrar o vetor normal do novo plano, vamos buscar um vetor que seja perpendicular a e a . A forma mais fácil de fazer isso é usando o produto vetorial entre e .
Calculando o produto vetorial:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do novo plano, , podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
Para encontrar o valor de , vamos usar um ponto que está na reta . O ponto dado é . Substituindo esses valores na equação:

Resposta

A equação do plano que contém a reta e é perpendicular ao plano dado é:

Exercícios relacionados

Ache a distância entre as retas e nos casos:
Considere a matriz . Calcule com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. En seguida, calcule .
Seja . Considere a transformação linear , tal que e .
Determine a matriz de na base canônica .
Achar a distância do ponto a reta nos casos: .