Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine o plano que contém e é perpendicular a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano com a equação e uma reta que é dada por . O que a gente precisa descobrir é um plano que contenha essa reta e que seja perpendicular ao plano dado. Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um plano ser perpendicular a outro. Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares. O vetor normal de um plano é aquele que está nos coeficientes de , e na equação do plano.
No caso do plano dado, , o vetor normal é .
Passo 3
Agora, vamos pensar no plano que a gente quer encontrar. Esse plano precisa:
Conter a reta : Isso significa que o vetor direcional da reta, que é , precisa estar no plano. Portanto, o vetor normal do nosso novo plano deve ser perpendicular a .
Ser perpendicular ao plano dado: Como mencionamos antes, isso implica que o vetor normal do nosso novo plano deve ser perpendicular ao vetor normal do plano dado .
Passo 4
Para encontrar o vetor normal do novo plano, vamos buscar um vetor que seja perpendicular a e a . A forma mais fácil de fazer isso é usando o produto vetorial entre e .
Calculando o produto vetorial:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal do novo plano, , podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
Para encontrar o valor de , vamos usar um ponto que está na reta . O ponto dado é . Substituindo esses valores na equação:
Resposta
A equação do plano que contém a reta e é perpendicular ao plano dado é: