Considere o plano de equação 2 x+y z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3, 4)+t(1, 1,2).
Determine o plano que contém r e é perpendicular a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano com a equação e uma reta que é dada por . O que a gente precisa descobrir é um plano que contenha essa reta e que seja perpendicular ao plano dado. Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um plano ser perpendicular a outro. Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares. O vetor normal de um plano é aquele que está nos coeficientes de , e na equação do plano.
No caso do plano dado, , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos pensar no plano que a gente quer encontrar. Esse plano precisa:
  1. Conter a reta : Isso significa que o vetor direcional da reta, que é , precisa estar no plano. Portanto, o vetor normal do nosso novo plano deve ser perpendicular a .
  2. Ser perpendicular ao plano dado: Como mencionamos antes, isso implica que o vetor normal do nosso novo plano deve ser perpendicular ao vetor normal do plano dado .

Passo 4

Para encontrar o vetor normal do novo plano, vamos buscar um vetor que seja perpendicular a n2 = n1 times d = i & j & k 2 & 1 & -1 1 & 1 & 2 e a n2 = i(1 cdot 2 - (-1) cdot 1) - j(2 cdot 2 - (-1) cdot 1) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 1) . A forma mais fácil de fazer isso é usando o produto vetorial entre n2 = i(2 + 1) - j(4 + 1) + k(2 - 1) e n2 = 3i - 5j + 1k = (3, -5, 1) .
Calculando o produto vetorial:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do novo plano, 3x - 5y + z = D , podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
3(0) - 5(3) + (4) = D
Para encontrar o valor de 0 - 15 + 4 = D , vamos usar um ponto que está na reta D = -11 . O ponto dado é . Substituindo esses valores na equação:

Resposta

A equação do plano que contém a reta 3x - 5y + z = -11 e é perpendicular ao plano dado é:

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