Achar a distância do ponto P a reta r nos casos: P=(2,3,-1) r:lx=3+t y=-2 t z=1-2 t.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a distância do ponto x = 3 + t y = -2t z = 1 - 2t até a reta definida pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional. Precisaremos trabalhar com vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, identificamos um ponto qualquer que esteja na reta . Observando as equações paramétricas, podemos ver que quando , o ponto na reta é .

Passo 3

Em seguida, determinamos o vetor diretor da reta v = (1, -2, -2) . O vetor diretor, , é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:

Passo 4

Agora, calculamos o vetor que vai do ponto AP = P - A = (2 - 3, 3 - 0, -1 - 1) = (-1, 3, -2) ao ponto . Esse vetor, , é:

Passo 5

Para encontrar a distância, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial entre d = ||AP times v||||v|| e :
O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos, e a norma desse vetor dividido pela norma de nos fornece a distância desejada.

Passo 6

Calculamos o produto vetorial AP times v = i & j & k -1 & 3 & -2 1 & -2 & -2 = i(3 cdot (-2) - (-2) cdot (-2)) - j((-1) cdot (-2) - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-2) - 3 cdot 1) :
= i(-6 - 4) - j(2 - (-2)) + k(2 - 3)
= i(-10) - j(4) + k(-1) = (-10, -4, -1)

Passo 7

Calculamos a norma do vetor resultante:
||AP times v|| = raiz(-10)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz100 + 16 + 1 = raiz117 approx 10,8167

Passo 8

Calculamos a norma do vetor diretor ||v|| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 10,81673 approx 3,6056

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente unidades.

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