Vamos resolver o problema de encontrar a distância do ponto x = 3 + t y = -2t z = 1 - 2t até a reta definida pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional. Precisaremos trabalhar com vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, identificamos um ponto qualquer que esteja na reta . Observando as equações paramétricas, podemos ver que quando , o ponto na reta é .
Passo 3
Em seguida, determinamos o vetor diretor da reta v = (1, -2, -2) . O vetor diretor, , é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Passo 4
Agora, calculamos o vetor que vai do ponto AP = P - A = (2 - 3, 3 - 0, -1 - 1) = (-1, 3, -2) ao ponto . Esse vetor, , é:
Passo 5
Para encontrar a distância, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial entre d = ||AP times v||||v|| e :
O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos, e a norma desse vetor dividido pela norma de nos fornece a distância desejada.
Passo 6
Calculamos o produto vetorial AP times v = i & j & k -1 & 3 & -2 1 & -2 & -2 = i(3 cdot (-2) - (-2) cdot (-2)) - j((-1) cdot (-2) - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-2) - 3 cdot 1) :