Ache a distância entre as retas r1 e r2 nos casos: r1:lx=t+1 y=t+2 z=-2 t-2 r2:ly=3 x+1 z=-4 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, e , definidas pelas suas equações paramétricas. Nosso objetivo é encontrar a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e pontos das retas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações paramétricas de cada reta de forma mais clara.
Para x = t + 1 y = t + 2 z = -2t - 2 :
a1 = 12-2, d1 = 11-2
Isso pode ser representado como um ponto e um vetor diretor:

Passo 3

Para y = 3x + 1 z = -4x :
x = s y = 3s + 1 z = -4s
Vamos parametrizar a reta em termos de a2 = 010, d2 = 13-4 :
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, para determinar se as retas são paralelas, se interceptam ou são skew (obliquas), calculamos o produto vetorial dos vetores diretores d1 times d2 = i & j & k 1 & 1 & -2 1 & 3 & -4 = (2, 2, 2) e :
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, as retas não são paralelas.

Passo 5

Para verificar se as retas se interceptam, buscamos valores de t + 1 = s t + 2 = 3s + 1 -2t - 2 = -4s e (s -1) + 2 = 3s + 1 implies s +1 = 3s +1 implies 0 = 2s implies s = 0 que satisfaçam as equações:
Igualando as componentes:
-2(-1) -2 = 2 -2 = 0 e -4(0) = 0
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Verificando na terceira equação:
As equações são satisfeitas, então as retas se intersectam no ponto .

Resposta

A distância entre as retas e é 0, pois elas se intersectam no ponto .

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