Considere o subespaço W de ^3 que é o plano de equação 2 x+y 3 z=0.
Determine uma base ortogonal w, w2 de W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o subespaço de , que é o plano dado pela equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar identificar dois vetores que estão nesse plano e que são ortogonais entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma base qualquer para o plano . Para isso, vamos encontrar duas soluções diferentes da equação .
Vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira:
  1. Primeira solução:
    • Escolhemos .
    • A equação fica .
    • Podemos escolher , então .
    • Assim, temos o vetor .
  2. Segunda solução:
    • Escolhemos .
    • A equação fica .
    • Podemos escolher , então .
    • Então, temos o vetor .
Portanto, uma base qualquer para é .

Passo 3

Agora, precisamos que essa base seja ortogonal, ou seja, que os vetores sejam perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Primeiro, mantemos projv1 v2 = v2 cdot v1v1 cdot v1 v1 .
Em seguida, projetamos v2 cdot v1 = (0)(1) + (-3)(-2) + (1)(0) = 6 sobre v1 cdot v1 = 1^2 + (-2)^2 + 0^2 = 5 para remover a parte que não é ortogonal:
projv1 v2 = 65 cdot (1, -2, 0) = ( 65, -125, 0 )
Calculando os produtos:
u2 = v2 - projv1 v2 = ( 0 - 65, -3 - (-125), 1 - 0 ) = ( -65, -35, 1 )
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal :
Agora, a base ortogonal é .

Resposta

Uma base ortogonal de é .

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