Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Determine uma base ortogonal de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o subespaço de , que é o plano dado pela equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar identificar dois vetores que estão nesse plano e que são ortogonais entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma base qualquer para o plano . Para isso, vamos encontrar duas soluções diferentes da equação .
Vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira:
  1. Primeira solução:
    • Escolhemos .
    • A equação fica .
    • Podemos escolher , então .
    • Assim, temos o vetor .
  2. Segunda solução:
    • Escolhemos .
    • A equação fica .
    • Podemos escolher , então .
    • Então, temos o vetor .
Portanto, uma base qualquer para é .

Passo 3

Agora, precisamos que essa base seja ortogonal, ou seja, que os vetores sejam perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Primeiro, mantemos .
Em seguida, projetamos sobre para remover a parte que não é ortogonal:
Calculando os produtos:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal :
Agora, a base ortogonal é .

Resposta

Uma base ortogonal de é .

Exercícios relacionados

Determine a solução geral do sistema linear.
Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz abaixo. Qual seria o sinal da forma quadrática associada a matriz C? Construa a matriz ômega. Calcule o traço da matriz ômega, compare com o traço da matriz C.
Achar a distância do ponto a reta nos casos: .
Considere a matriz . Calcule com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. En seguida, calcule .