Considere o subespaço
de
que é o plano de equação
.
Determine uma base ortogonal
de
.
Determine uma base ortogonal
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o subespaço
de
, que é o plano dado pela equação
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar identificar dois vetores que estão nesse plano e que são ortogonais entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma base qualquer para o plano
. Para isso, vamos encontrar duas soluções diferentes da equação
.
Vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira:
-
Primeira solução:
- Escolhemos
. - A equação fica
. - Podemos escolher
, então . - Assim, temos o vetor
.
- Escolhemos
-
Segunda solução:
- Escolhemos
. - A equação fica
. - Podemos escolher
, então . - Então, temos o vetor
.
- Escolhemos
Portanto, uma base qualquer para
é
.
Passo 3
Agora, precisamos que essa base seja ortogonal, ou seja, que os vetores sejam perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Primeiro, mantemos
.
Em seguida, projetamos
sobre
para remover a parte que não é ortogonal:
Calculando os produtos:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter o vetor ortogonal
:
Agora, a base ortogonal é
.
Resposta
Uma base ortogonal de
é
.