Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Determine uma base ortogonal de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o subespaço de , que é o plano dado pela equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar identificar dois vetores que estão nesse plano e que são ortogonais entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma base qualquer para o plano . Para isso, vamos encontrar duas soluções diferentes da equação .
Vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira:
Primeira solução:
Escolhemos .
A equação fica .
Podemos escolher , então .
Assim, temos o vetor .
Segunda solução:
Escolhemos .
A equação fica .
Podemos escolher , então .
Então, temos o vetor .
Portanto, uma base qualquer para é .
Passo 3
Agora, precisamos que essa base seja ortogonal, ou seja, que os vetores sejam perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Primeiro, mantemos .
Em seguida, projetamos sobre para remover a parte que não é ortogonal:
Calculando os produtos:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal :