Considere a matriz A. Calcule det(A) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. En seguida, calcule det(2 A).
A=(cccc 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & 2 4 & 1 & 3 & 0 2 & 10 & 3 & 2 )4 times 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando a expansão por cofatores em alguma linha ou coluna que a gente escolher. Depois, vamos calcular o determinante de . Para isso, vamos precisar entender como funciona a expansão por cofatores e algumas propriedades dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna que facilite nossos cálculos. Olhando a matriz A= 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & 2 4 & 1 & 3 & 0 2 & 10 & 3 & 2 , a terceira coluna tem dois zeros, o que vai facilitar a conta. Então, vamos expandir os cofatores pela terceira coluna.
A matriz é:

Passo 3

A expansão por cofatores na terceira coluna é feita multiplicando cada elemento da coluna pelo seu cofactor correspondente e somando esses resultados. Como temos dois zeros, só precisamos calcular os cofatores dos elementos que não são zero.
Os elementos não nulos na terceira coluna são , , e . Como e são zero, só vamos calcular os cofatores de e .

Passo 4

Vamos calcular o cofactor de C33 = (-1)^3+3 cdot det(M33) . O cofactor M33 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & 2 2 & 10 & 2 é dado por:
det(M33) = 3 cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 10) - 3 cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 2) + 5 cdot (2 cdot 10 - 2 cdot 2) = 3 cdot (4 - 20) - 3 cdot (4 - 4) + 5 cdot (20 - 4) = 3 cdot (-16) - 3 cdot 0 + 5 cdot 16 = -48 + 0 + 80 = 32
Onde é a matriz obtida removendo a terceira linha e terceira coluna de :
Vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o cofactor de C43 = (-1)^4+3 cdot det(M43) . O cofactor M43 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & 2 4 & 1 & 0 é:
det(M43) = 3 cdot (2 cdot 0 - 2 cdot 1) - 3 cdot (2 cdot 0 - 2 cdot 4) + 5 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 4) = 3 cdot (0 - 2) - 3 cdot (0 - 8) + 5 cdot (2 - 8) = 3 cdot (-2) - 3 cdot (-8) + 5 cdot (-6) = -6 + 24 - 30 = -12
Onde é a matriz obtida removendo a quarta linha e terceira coluna de :
Vamos calcular :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos usar a expansão por cofatores na terceira coluna:
det(A) = a13 cdot C13 + a23 cdot C23 + a33 cdot C33 + a43 cdot C43
Como det(A) = 3 cdot 32 + 3 cdot 12 = 96 + 36 = 132 e , a equação simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos calcular det(2A) = 2^4 cdot det(A) = 16 cdot 132 = 2112 . Sabemos que, para uma matriz , multiplicar a matriz por um escalar multiplica o determinante por .
Aqui, e , então:

Resposta

det(A) = 132 e det(2A) = 2112

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