Considere a matriz . Calcule com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. En seguida, calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando a expansão por cofatores em alguma linha ou coluna que a gente escolher. Depois, vamos calcular o determinante de . Para isso, vamos precisar entender como funciona a expansão por cofatores e algumas propriedades dos determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna que facilite nossos cálculos. Olhando a matriz A= 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & 2 4 & 1 & 3 & 0 2 & 10 & 3 & 2 , a terceira coluna tem dois zeros, o que vai facilitar a conta. Então, vamos expandir os cofatores pela terceira coluna.
A matriz é:
Passo 3
A expansão por cofatores na terceira coluna é feita multiplicando cada elemento da coluna pelo seu cofactor correspondente e somando esses resultados. Como temos dois zeros, só precisamos calcular os cofatores dos elementos que não são zero.
Os elementos não nulos na terceira coluna são , , e . Como e são zero, só vamos calcular os cofatores de e .
Passo 4
Vamos calcular o cofactor de C33 = (-1)^3+3 cdot det(M33) . O cofactor M33 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & 2 2 & 10 & 2 é dado por:
Como det(A) = 3 cdot 32 + 3 cdot 12 = 96 + 36 = 132 e , a equação simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos calcular det(2A) = 2^4 cdot det(A) = 16 cdot 132 = 2112 . Sabemos que, para uma matriz , multiplicar a matriz por um escalar multiplica o determinante por .