Primeiro, vamos identificar a reta e o plano dados:
Reta: , onde é um número real.
Plano: .
Precisamos encontrar a distância entre essa reta e o plano.
Passo 3
Para isso, vamos verificar se a reta é paralela ao plano. Se for paralela, a distância será constante; se não, a distância será zero (porque a reta intercepta o plano).
O vetor diretor da reta é .
O vetor normal ao plano é , que vem dos coeficientes de na equação do plano.
Passo 4
Calculamos o produto escalar entre e :
Passo 5
Como o produto escalar é zero, isso significa que a reta é paralela ao plano. Portanto, a distância entre eles não é zero e podemos calcular usando a fórmula da distância de um ponto ao plano.
Passo 6
Escolhemos um ponto da reta, por exemplo, .
A fórmula para a distância de um ponto ao plano é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) da questão.
Reta: , onde é um número real.
Plano: .
Vamos determinar a distância entre essa reta e o plano.
Passo 8
Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Vetor diretor da reta: .
Vetor normal do plano: (obtido dos coeficientes de ).
Passo 9
Calculamos o produto escalar entre e :
Passo 10
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Portanto, podemos usar a fórmula da distância de um ponto ao plano para encontrar a distância entre eles.
Precisamos encontrar a distância entre essa reta e o plano.
Passo 13
Identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Vetor diretor da reta: .
Vetor normal do plano: (já que a equação do plano pode ser escrita como ).
Passo 14
Calculamos o produto escalar entre e :
Passo 15
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Portanto, a distância entre eles será constante e pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto ao plano.
Passo 16
Escolhemos um ponto da reta, por exemplo, .
A equação do plano é , que pode ser escrita como .