Achar a distância entre a reta e o plano
(a) r:(x, y, z)=(4,-1,0)+t(3,1,1), t in R e pi: x-y-2 z+4=0.
(b) r:(x, y, z)=(3,4,0)+t(0,0,1), t in R e pi: x+y-12=0.
© r:(x, y, z)=(3,4,0)+t(0,0,1), t in R e pi: y=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão quer dizer. Precisamos encontrar a distância entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a relação entre retas e planos. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta e o plano dados:
  • Reta: , onde é um número real.
  • Plano: .
Precisamos encontrar a distância entre essa reta e o plano.

Passo 3

Para isso, vamos verificar se a reta é paralela ao plano. Se for paralela, a distância será constante; se não, a distância será zero (porque a reta intercepta o plano).
O vetor diretor da reta é .
O vetor normal ao plano é , que vem dos coeficientes de na equação do plano.

Passo 4

Calculamos o produto escalar entre v cdot n = 3 times 1 + 1 times (-1) + 1 times (-2) = 3 - 1 - 2 = 0 e :

Passo 5

Como o produto escalar é zero, isso significa que a reta é paralela ao plano. Portanto, a distância entre eles não é zero e podemos calcular usando a fórmula da distância de um ponto ao plano.

Passo 6

Escolhemos um ponto da reta, por exemplo, d = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 .
A fórmula para a distância d = |1 times 4 + (-1) times (-1) + (-2) times 0 + 4|raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = |4 + 1 + 0 + 4|raiz1 + 1 + 4 = 9raiz6 = 3raiz62 de um ponto ao plano é:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) da questão.
  • Reta: , onde é um número real.
  • Plano: .
Vamos determinar a distância entre essa reta e o plano.

Passo 8

Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Vetor diretor da reta: .
Vetor normal do plano: (obtido dos coeficientes de ).

Passo 9

Calculamos o produto escalar entre v cdot n = 0 times 1 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0 e :

Passo 10

Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Portanto, podemos usar a fórmula da distância de um ponto ao plano para encontrar a distância entre eles.

Passo 11

Escolhemos um ponto da reta, por exemplo, d = |1 times 3 + 1 times 4 + 0 times 0 - 12|raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = |3 + 4 + 0 - 12|raiz1 + 1 + 0 = |-5|raiz2 = 5raiz2 = 5raiz22 .
A fórmula da distância é:

Passo 12

Vamos para a parte © da questão.
  • Reta: , onde é um número real.
  • Plano: .
Precisamos encontrar a distância entre essa reta e o plano.

Passo 13

Identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Vetor diretor da reta: .
Vetor normal do plano: (já que a equação do plano pode ser escrita como ).

Passo 14

Calculamos o produto escalar entre v cdot n = 0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0 e :

Passo 15

Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Portanto, a distância entre eles será constante e pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto ao plano.

Passo 16

Escolhemos um ponto da reta, por exemplo, d = |0 times 3 + 1 times 4 + 0 times 0 - 0|raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = |4|1 = 4 .
A equação do plano é , que pode ser escrita como .
Aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre a reta e o plano é .

Exercícios relacionados

Determine k, para que o sistema admita solução.
-4 x+3 y & =2 5 x-4 y & =0 2 x-y & =k
Ache a distância do ponto P à reta r.
(a) P=(2,3,-1) e r:(x, y, z)=(3,0,1)+t(1,-2,-2), t in R.
(b) P=(1,-1,0) e r:(x, y, z)=(2,0,0)+t(-1,0,1), t in R.
© P=(3,2,1) e r:(x, y, z)=(0,0,3)+t(1,2,1), t in R.
Considere o ponto P=(2,3,0) e o plano 2 x+3 y-z+1=0.
(a) Encontre a reta r que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano pi.
(b) Encontre o ponto Q que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
© Calcule a distância entre P e pi usando que esta distância é dada por dist(P, pi)=dist(P, Q).
Considere o ponto P=(1,2,1) e a reta r:(x, y, z)=(1,3,-10)+t(2,3,-1), t in R.
(a) Encontre a equação geral do plano pi que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.
(b) Encontre o ponto Q que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
© Calcule a distância entre P e r usando que esta distância é dada por dist(P, r)=dist(P, Q).