Achar a distância entre a reta e o plano
(a)
e
.
(b)
e
.
©
e
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos entender o que a questão quer dizer. Precisamos encontrar a distância entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a relação entre retas e planos. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a reta e o plano dados:
- Reta:
, onde é um número real. - Plano:
.
Precisamos encontrar a distância entre essa reta e o plano.
Passo 3
Para isso, vamos verificar se a reta é paralela ao plano. Se for paralela, a distância será constante; se não, a distância será zero (porque a reta intercepta o plano).
O vetor diretor da reta é
.
O vetor normal ao plano é
, que vem dos coeficientes de
na equação do plano.
Passo 4
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Passo 5
Como o produto escalar é zero, isso significa que a reta é paralela ao plano. Portanto, a distância entre eles não é zero e podemos calcular usando a fórmula da distância de um ponto ao plano.
Passo 6
Escolhemos um ponto da reta, por exemplo,
.
A fórmula para a distância
de um ponto
ao plano
é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) da questão.
- Reta:
, onde é um número real. - Plano:
.
Vamos determinar a distância entre essa reta e o plano.
Passo 8
Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Vetor diretor da reta:
.
Vetor normal do plano:
(obtido dos coeficientes de
).
Passo 9
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Passo 10
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Portanto, podemos usar a fórmula da distância de um ponto ao plano para encontrar a distância entre eles.
Passo 11
Escolhemos um ponto da reta, por exemplo,
.
A fórmula da distância
é:
Passo 12
Vamos para a parte © da questão.
- Reta:
, onde é um número real. - Plano:
.
Precisamos encontrar a distância entre essa reta e o plano.
Passo 13
Identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Vetor diretor da reta:
.
Vetor normal do plano:
(já que a equação do plano pode ser escrita como
).
Passo 14
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Passo 15
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Portanto, a distância entre eles será constante e pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto ao plano.
Passo 16
Escolhemos um ponto da reta, por exemplo,
.
A equação do plano é
, que pode ser escrita como
.
Aplicamos a fórmula da distância:
Resposta
A distância entre a reta
e o plano
é
.