Ache a distância do ponto P à reta r.
(a) P=(2,3,-1) e r:(x, y, z)=(3,0,1)+t(1,-2,-2), t in R.
(b) P=(1,-1,0) e r:(x, y, z)=(2,0,0)+t(-1,0,1), t in R.
© P=(3,2,1) e r:(x, y, z)=(0,0,3)+t(1,2,1), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa achar a distância entre um ponto e uma reta definida por , onde é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para a distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da reta . A reta está parametrizada por um ponto e um vetor diretor .

Passo 3

A fórmula para calcular a distância d = | AP times v | | v | entre o ponto e a reta é:
Aqui, é o vetor que vai de até , representa o produto vetorial, e denota o módulo do vetor.

Passo 4

Vamos calcular AP = P - A = (2 - 3, 3 - 0, -1 - 1) = (-1, 3, -2) . Subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial AP times v = i & j & k -1 & 3 & -2 1 & -2 & -2 :
= i(3 cdot (-2) - (-2) cdot (-2)) - j((-1) cdot (-2) - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-2) - 3 cdot 1)
= i(-6 - 4) - j(2 - (-2)) + k(2 - 3)
= i(-10) - j(4) + k(-1)
Então, .

Passo 6

Vamos calcular o módulo de | AP times v | = raiz(-10)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz100 + 16 + 1 = raiz117 :

Passo 7

Agora, calculamos o módulo do vetor diretor | v | = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = raiz117 3 = 3raiz13 3 = raiz13

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é .

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