Considere o ponto P=(1,2,1) e a reta r:(x, y, z)=(1,3,-10)+t(2,3,-1), t in R.
(a) Encontre a equação geral do plano pi que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.
(b) Encontre o ponto Q que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
© Calcule a distância entre P e r usando que esta distância é dada por dist(P, r)=dist(P, Q).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A gente tem um ponto e uma reta definida por . A gente vai trabalhar com geometria analítica no espaço tridimensional, focando em planos e retas. Vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano perpendicular a uma reta e como calcular distâncias entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): encontrar a equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Para isso, precisamos do vetor diretor da reta , que é . Como o plano é perpendicular à reta, esse vetor será também o vetor normal ao plano.

Passo 3

Com o vetor normal 2(x - 1) + 3(y - 2) - 1(z - 1) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
2x - 2 + 3y - 6 - z + 1 = 0 2x + 3y - z - 7 = 0
Então, a equação geral do plano 2x + 3y - z - 7 = 0 é:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): encontrar o ponto que é a interseção entre a reta e o plano . Para isso, vamos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano e resolver para .

Passo 6

As equações paramétricas da reta x = 1 + 2t y = 3 + 3t z = -10 - t são:
2(1 + 2t) + 3(3 + 3t) - (-10 - t) - 7 = 0
Substituindo esses valores na equação do plano :

Passo 7

Resolvendo a equação:
2 + 4t + 9 + 9t + 10 + t - 7 = 0 (4t + 9t + t) + (2 + 9 + 10 - 7) = 0 14t + 14 = 0
Então:
14t = -14 t = -1

Passo 8

Agora que temos x = 1 + 2(-1) = -1 y = 3 + 3(-1) = 0 z = -10 - (-1) = -9 , vamos substituir de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de :
Portanto, .

Passo 9

Finalmente, vamos para a parte ©: calcular a distância entre e a reta , que é dada por . Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 10

As coordenadas de dist(P, Q) = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 são dist(P, Q) = raiz(-1 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-9 - 1)^2 = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + (-10)^2 = raiz4 + 4 + 100 = raiz108 = 6raiz3 e de são . A distância é calculada por:
Substituindo:

Resposta

(a) A equação geral do plano é .
(b) O ponto de interseção entre a reta e o plano é .
© A distância entre o ponto e a reta é unidades.

Exercícios relacionados

Considere o ponto P=(2,3,0) e o plano 2 x+3 y-z+1=0.
(a) Encontre a reta r que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano pi.
(b) Encontre o ponto Q que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
© Calcule a distância entre P e pi usando que esta distância é dada por dist(P, pi)=dist(P, Q).
Achar a distância entre a reta e o plano
(a) r:(x, y, z)=(4,-1,0)+t(3,1,1), t in R e pi: x-y-2 z+4=0.
(b) r:(x, y, z)=(3,4,0)+t(0,0,1), t in R e pi: x+y-12=0.
© r:(x, y, z)=(3,4,0)+t(0,0,1), t in R e pi: y=0.
Seja pi o plano dado pela equação x+2 y+4 z=0. Qual dos conjunto abaixo é base de pi ?
(a) (-2,1,0),(-4,0,1)
(b) (1,2,4)
© (1,2),(1,4)
(d) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Qual dos conjuntos abaixo é L.I.?
(a) (1,1),(-1,-1)
(b) (1,1,1),(1,1,2),(0,0,-1)
© (1,2),(2,3),(3,4)
(d) (1,1,0),(1,1,1),(0,1,1)