Considere o ponto
e a reta
.
(a) Encontre a equação geral do plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
(b) Encontre o ponto
que é a interseção entre a reta
e o plano
.
© Calcule a distância entre
e
usando que esta distância é dada por
.
(a) Encontre a equação geral do plano
(b) Encontre o ponto
© Calcule a distância entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A gente tem um ponto
e uma reta
definida por
. A gente vai trabalhar com geometria analítica no espaço tridimensional, focando em planos e retas. Vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano perpendicular a uma reta e como calcular distâncias entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a): encontrar a equação geral do plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
. Para isso, precisamos do vetor diretor da reta
, que é
. Como o plano é perpendicular à reta, esse vetor será também o vetor normal ao plano.
Passo 3
Com o vetor normal
e sabendo que o plano passa pelo ponto
, podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação geral do plano
é:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): encontrar o ponto
que é a interseção entre a reta
e o plano
. Para isso, vamos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano e resolver para
.
Passo 6
As equações paramétricas da reta
são:
Substituindo esses valores na equação do plano
:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Então:
Passo 8
Agora que temos
, vamos substituir de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de
:
Portanto,
.
Passo 9
Finalmente, vamos para a parte ©: calcular a distância entre
e a reta
, que é dada por
. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Passo 10
As coordenadas de
são
e de
são
. A distância é calculada por:
Substituindo:
Resposta
(a) A equação geral do plano
é
.
(b) O ponto de interseção
entre a reta
e o plano
é
.
© A distância entre o ponto
e a reta
é
unidades.
Exercícios relacionados
Considere o ponto
e o plano
.
(a) Encontre a reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano
.
(b) Encontre o ponto que é a interseção entre a reta
e o plano
.
© Calcule a distância entre e
usando que esta distância é dada por
.
(a) Encontre a reta
(b) Encontre o ponto
© Calcule a distância entre
Achar a distância entre a reta e o plano
(a) e
.
(b) e
.
© e
.
(a)
(b)
©
Seja
o plano dado pela equação
. Qual dos conjunto abaixo é base de
?
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Qual dos conjuntos abaixo é L.I.?
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)