Determine k, para que o sistema admita solução.
-4 x+3 y & =2 5 x-4 y & =0 2 x-y & =k

Passo 1

Vamos analisar o problema. Temos um sistema de três equações com duas incógnitas -4 x + 3 y & =2 5 x -4 y & =0 2 x - y & =k e :
O objetivo é determinar o valor de para que esse sistema tenha uma solução. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, resolvendo primeiro as duas primeiras equações para encontrar e e depois determinar .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar os valores de -4x + 3y = 2 (1) 5x -4y =0 (2) e . As equações são:
Podemos resolver esse sistema por método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela substituição para facilitar.

Passo 3

Vamos isolar 5x -4y =0 Rightarrow 5x =4y Rightarrow x = 45 y na segunda equação (2):
Agora que temos em função de , podemos substituir esse valor na primeira equação.

Passo 4

Substituindo -4(45 y) + 3y =2 -165 y +3y =2 na equação (1):
3y = 155 y -165 y + 155 y =2 -15 y =2
Para simplificar, vamos converter y = -10 em uma fração com denominador 5:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Com o valor de x = 45 times (-10) = -8 encontrado, substituímos de volta na expressão para :

Passo 6

Agora que temos 2x - y =k 2(-8) - (-10) =k -16 +10 =k k = -6 e , substituímos esses valores na terceira equação para encontrar :

Resposta

O valor de que faz o sistema admitir solução é .

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