Considere o ponto P=(2,3,0) e o plano 2 x+3 y-z+1=0.
(a) Encontre a reta r que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano pi.
(b) Encontre o ponto Q que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
© Calcule a distância entre P e pi usando que esta distância é dada por dist(P, pi)=dist(P, Q).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um plano definido pela equação . O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Encontrar a reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano .
Para isso, vamos precisar entender como uma reta perpendicular a um plano se relaciona com a equação desse plano. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para achar a reta n = (2, 3, -1) que é perpendicular ao plano , precisamos da direção dessa reta. A direção de uma reta perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal do plano.
A equação do plano é . O vetor normal desse plano é formado pelos coeficientes de , e na equação, ou seja:
Esse vetor indica a direção da reta perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora que temos o ponto x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e a direção da reta dada por , podemos escrever a equação da reta em forma paramétrica.
A forma geral da equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor é:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, onde x = 2 + 2t y = 3 + 3t z = 0 - t e boxed x = 2 + 2t y = 3 + 3t z = -t , temos:
Então, a equação paramétrica da reta perpendicular ao plano é:

Resposta

A reta boxed x = 2 + 2t y = 3 + 3t z = -t que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano tem a seguinte equação paramétrica:

Exercícios relacionados