Considere o ponto P=(2,3,0) e o plano 2 x+3 y-z+1=0.
(a) Encontre a reta r que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano pi.
(b) Encontre o ponto Q que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
© Calcule a distância entre P e pi usando que esta distância é dada por dist(P, pi)=dist(P, Q).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um plano definido pela equação . O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Encontrar a reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano .
Para isso, vamos precisar entender como uma reta perpendicular a um plano se relaciona com a equação desse plano. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para achar a reta n = (2, 3, -1) que é perpendicular ao plano , precisamos da direção dessa reta. A direção de uma reta perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal do plano.
A equação do plano é . O vetor normal desse plano é formado pelos coeficientes de , e na equação, ou seja:
Esse vetor indica a direção da reta perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora que temos o ponto x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e a direção da reta dada por , podemos escrever a equação da reta em forma paramétrica.
A forma geral da equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor é:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, onde x = 2 + 2t y = 3 + 3t z = 0 - t e boxed x = 2 + 2t y = 3 + 3t z = -t , temos:
Então, a equação paramétrica da reta perpendicular ao plano é:

Resposta

A reta boxed x = 2 + 2t y = 3 + 3t z = -t que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano tem a seguinte equação paramétrica:

Exercícios relacionados

Achar a distância entre a reta e o plano
(a) r:(x, y, z)=(4,-1,0)+t(3,1,1), t in R e pi: x-y-2 z+4=0.
(b) r:(x, y, z)=(3,4,0)+t(0,0,1), t in R e pi: x+y-12=0.
© r:(x, y, z)=(3,4,0)+t(0,0,1), t in R e pi: y=0.
Determine k, para que o sistema admita solução.
-4 x+3 y & =2 5 x-4 y & =0 2 x-y & =k
Considere o ponto P=(1,2,1) e a reta r:(x, y, z)=(1,3,-10)+t(2,3,-1), t in R.
(a) Encontre a equação geral do plano pi que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.
(b) Encontre o ponto Q que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
© Calcule a distância entre P e r usando que esta distância é dada por dist(P, r)=dist(P, Q).
Seja pi o plano dado pela equação x+2 y+4 z=0. Qual dos conjunto abaixo é base de pi ?
(a) (-2,1,0),(-4,0,1)
(b) (1,2,4)
© (1,2),(1,4)
(d) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)