Achar a distância da reta r ao plano , nos casos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância de uma reta a um plano em dois casos diferentes. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre uma reta e um plano. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro Caso:
Temos a reta definida por:
e o plano definido pela equação:
Para encontrar a distância da reta ao plano, podemos usar a fórmula da distância de um ponto ao plano e observar que, como todos os pontos da reta satisfazem uma determinada direção, a distância será a mesma para qualquer ponto da reta.

Passo 3

Primeiro, vamos escolher um ponto qualquer da reta . Vamos escolher para facilitar:
Então, o ponto está na reta .

Passo 4

A fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano é:
Identificando os coeficientes do plano :

Passo 5

Substituindo as coordenadas do ponto na fórmula:

Passo 6

Simplificando a raiz no denominador:
Então, a distância é:
Mas, conforme solicitado, mantemos a expressão exata:

Passo 7

Segundo Caso:
Agora, temos a reta definida por:
e o plano definido por:
Aqui, a reta é paralela ao eixo , já que e são constantes.

Passo 8

Vamos escolher um ponto qualquer da reta . Como e , podemos escolher para facilitar:

Passo 9

Aplicando a mesma fórmula para a distância de um ponto ao plano:
Identificando os coeficientes do plano :

Passo 10

Substituindo as coordenadas do ponto na fórmula:

Resposta

A distância da reta ao plano é:

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a) .
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