Achar a distância da reta r ao plano pi, nos casos:
& r: x=4+3 t y=-1+t z=t e pi: x-y-2 z+4=0 & r:l x=3 y=4 e pi: x+y-12=0 & R: 9raiz6 5raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância de uma reta a um plano em dois casos diferentes. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre uma reta e um plano. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro Caso:
Temos a reta x = 4 + 3t y = -1 + t z = t definida por:
x - y - 2z + 4 = 0
e o plano definido pela equação:
Para encontrar a distância da reta ao plano, podemos usar a fórmula da distância de um ponto ao plano e observar que, como todos os pontos da reta satisfazem uma determinada direção, a distância será a mesma para qualquer ponto da reta.

Passo 3

Primeiro, vamos escolher um ponto qualquer da reta x = 4 + 3(0) = 4 y = -1 + 0 = -1 z = 0 . Vamos escolher para facilitar:
Então, o ponto está na reta .

Passo 4

A fórmula para calcular a distância D = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto A = 1, B = -1, C = -2, D = 4 a um plano é:
Identificando os coeficientes do plano :

Passo 5

Substituindo as coordenadas do ponto D = |1 cdot 4 + (-1) cdot (-1) + (-2) cdot 0 + 4|raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = |4 + 1 + 0 + 4|raiz1 + 1 + 4 = 9raiz6 na fórmula:

Passo 6

Simplificando a raiz no denominador:
raiz6 approx 2,449
Então, a distância é:
D = 9raiz6 approx 3,674
Mas, conforme solicitado, mantemos a expressão exata:
D = 9raiz6

Passo 7

Segundo Caso:
Agora, temos a reta x = 3 y = 4 definida por:
x + y - 12 = 0
e o plano definido por:
Aqui, a reta é paralela ao eixo , já que e são constantes.

Passo 8

Vamos escolher um ponto qualquer da reta P(3, 4, 0) . Como e , podemos escolher para facilitar:

Passo 9

Aplicando a mesma fórmula para a distância de um ponto ao plano:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Identificando os coeficientes do plano A = 1, B = 1, C = 0, D = -12 :

Passo 10

Substituindo as coordenadas do ponto D = |1 cdot 3 + 1 cdot 4 + 0 cdot 0 - 12|raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = |3 + 4 + 0 - 12|raiz1 + 1 + 0 = |-5|raiz2 = 5raiz2 na fórmula:

Resposta

A distância da reta R = 9raiz6 e R = 5raiz2 ao plano é:

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