Considere e vetores quaisquer. Prove que:
a) .
b) .

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que pede para provar duas identidades envolvendo vetores e . O conteúdo aqui envolve produto escalar e normas de vetores. Para isso, vamos precisar lembrar das definições de produto escalar e norma, além de como expandir expressões algébricas com vetores.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): comprovar que
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é dada por , então .

Passo 3

Vamos expandir :

Passo 4

Agora, vamos expandir :

Passo 5

Vamos subtrair as duas equações obtidas:

Passo 6

Agora, isolando :
Assim, provamos a parte a).

Passo 7

Vamos agora para a parte b): demonstrar que
Novamente, utilizaremos a expansão das normas dos vetores.

Passo 8

A partir das expansões que fizemos anteriormente:
e

Passo 9

Vamos somar essas duas equações:

Passo 10

Isolando :
Assim, provamos também a parte b).

Resposta

As duas identidades foram comprovadas conforme solicitado:
a)
b)

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