Considere u e v vetores quaisquer. Prove que:
a) u cdot v=14(|u+v|^2-|u-v|^2).
b) |u|^2+|v|^2=12(|u+v|^2+|u-v|^2).

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que pede para provar duas identidades envolvendo vetores u e v. O conteúdo aqui envolve produto escalar e normas de vetores. Para isso, vamos precisar lembrar das definições de produto escalar e norma, além de como expandir expressões algébricas com vetores.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): comprovar que
u cdot v = 14(|u + v|^2 - |u - v|^2)
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor w é dada por |w| = raizw cdot w, então |w|^2 = w cdot w.

Passo 3

Vamos expandir |u + v|^2:
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2u cdot v + v cdot v = |u|^2 + 2u cdot v + |v|^2

Passo 4

Agora, vamos expandir |u - v|^2:
|u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v = |u|^2 - 2u cdot v + |v|^2

Passo 5

Vamos subtrair as duas equações obtidas:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = (|u|^2 + 2u cdot v + |v|^2) - (|u|^2 - 2u cdot v + |v|^2) = 4u cdot v

Passo 6

Agora, isolando u cdot v:
u cdot v = 14(|u + v|^2 - |u - v|^2)
Assim, provamos a parte a).

Passo 7

Vamos agora para a parte b): demonstrar que
|u|^2 + |v|^2 = 12(|u + v|^2 + |u - v|^2)
Novamente, utilizaremos a expansão das normas dos vetores.

Passo 8

A partir das expansões que fizemos anteriormente:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2u cdot v + |v|^2,
e
|u - v|^2 = |u|^2 - 2u cdot v + |v|^2

Passo 9

Vamos somar essas duas equações:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2

Passo 10

Isolando |u|^2 + |v|^2:
|u|^2 + |v|^2 = 12(|u + v|^2 + |u - v|^2)
Assim, provamos também a parte b).

Resposta

As duas identidades foram comprovadas conforme solicitado:
a)
u cdot v = 14(|u + v|^2 - |u - v|^2)
b)
|u|^2 + |v|^2 = 12(|u + v|^2 + |u - v|^2)

Exercícios relacionados