Considere
e
vetores quaisquer. Prove que:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Oi! Vamos resolver o exercício que pede para provar duas identidades envolvendo vetores
e
. O conteúdo aqui envolve produto escalar e normas de vetores. Para isso, vamos precisar lembrar das definições de produto escalar e norma, além de como expandir expressões algébricas com vetores.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): comprovar que
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é dada por
, então
.
Passo 3
Vamos expandir
:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Passo 5
Vamos subtrair as duas equações obtidas:
Passo 6
Agora, isolando
:
Assim, provamos a parte a).
Passo 7
Vamos agora para a parte b): demonstrar que
Novamente, utilizaremos a expansão das normas dos vetores.
Passo 8
A partir das expansões que fizemos anteriormente:
e
Passo 9
Vamos somar essas duas equações:
Passo 10
Isolando
:
Assim, provamos também a parte b).
Resposta
As duas identidades foram comprovadas conforme solicitado:
a)
a)
b)
Exercícios relacionados
Determine se o terno ordenado dado é solução do sistema de equações lineares.
Tomemos uma circunferência de raio
centrada na origem e considere o triângulo
, onde
e
com
na circunferência. Mostre usando produto escalar que o triângulo
é um triângulo retângulo.
Achar a distância da reta r ao plano
, nos casos:
A medida em radianos do ângulo entre
e
e
e
é ortogonal a
e a
. Sendo
e sabendo que
é uma base, calcule
.