A medida em radianos do ângulo entre e e e é ortogonal a e a . Sendo e sabendo que é uma base, calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A questão fala sobre calcular o produto misto de três vetores , e . Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e produto misto que fazem parte da matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto . Esse produto é igual ao produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Matemática falando:
Isso nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e também nos informa se os vetores são orientados positivamente ou negativamente.

Passo 3

Sabemos que é ortogonal a e a . Isso significa que o ângulo entre e qualquer um dos outros vetores é de ou radianos. Quando dois vetores são ortogonais, o produto vetorial deles tem direção perpendicular a ambos e o produto escalar é zero.

Passo 4

Como é ortogonal a e a , o produto vetorial terá a mesma direção que , já que forma uma base. Portanto, o produto misto será proporcional ao produto dos comprimentos dos vetores e ao seno do ângulo entre e .

Passo 5

Vamos calcular o produto misto passo a passo. Primeiro, encontramos a magnitude do produto vetorial :
Onde e . Então:

Passo 6

Agora, multiplicamos essa magnitude pelo comprimento de :

Resposta

O valor de é igual a .

Exercícios relacionados

Achar a distância da reta r ao plano , nos casos:
Considere e vetores quaisquer. Prove que:
a) .
b) .
Determine o ponto do segmento que está mais próximo do ponto e o que está mais afastado de , sendo e .
Dado o sistema :
c) Resolva o sistema e verifique que toda