A medida em radianos do ângulo entre u e v e pi6 e w é ortogonal a u e a v. Sendo |u|=1,|v|=1,|w|=4 e sabendo que u, v, w é uma base, calcule [u, v, w].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A questão fala sobre calcular o produto misto de três vetores , e . Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e produto misto que fazem parte da matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto [ u, v, w ] = u cdot (v times w) . Esse produto é igual ao produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Matemática falando:
Isso nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e também nos informa se os vetores são orientados positivamente ou negativamente.

Passo 3

Sabemos que é ortogonal a e a . Isso significa que o ângulo entre e qualquer um dos outros vetores é de ou radianos. Quando dois vetores são ortogonais, o produto vetorial deles tem direção perpendicular a ambos e o produto escalar é zero.

Passo 4

Como é ortogonal a e a , o produto vetorial terá a mesma direção que , já que forma uma base. Portanto, o produto misto será proporcional ao produto dos comprimentos dos vetores e ao seno do ângulo entre e .

Passo 5

Vamos calcular o produto misto passo a passo. Primeiro, encontramos a magnitude do produto vetorial | u times v | = | u | cdot | v | cdot sin(theta) :
| u times v | = 1 cdot 1 cdot sin(pi6) = 12
Onde e . Então:

Passo 6

Agora, multiplicamos essa magnitude pelo comprimento de [ u, v, w ] = | u times v | cdot | w | = 12 cdot 4 = 2 :

Resposta

O valor de é igual a .

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