A medida em radianos do ângulo entre
e
e
e
é ortogonal a
e a
. Sendo
e sabendo que
é uma base, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A questão fala sobre calcular o produto misto
de três vetores
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e produto misto que fazem parte da matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto misto
. Esse produto é igual ao produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Matemática falando:
Isso nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e também nos informa se os vetores são orientados positivamente ou negativamente.
Passo 3
Sabemos que
é ortogonal a
e a
. Isso significa que o ângulo entre
e qualquer um dos outros vetores é de
ou
radianos. Quando dois vetores são ortogonais, o produto vetorial deles tem direção perpendicular a ambos e o produto escalar é zero.
Passo 4
Como
é ortogonal a
e a
, o produto vetorial
terá a mesma direção que
, já que
forma uma base. Portanto, o produto misto será proporcional ao produto dos comprimentos dos vetores e ao seno do ângulo entre
e
.
Passo 5
Vamos calcular o produto misto passo a passo. Primeiro, encontramos a magnitude do produto vetorial
:
Onde
e
. Então:
Passo 6
Agora, multiplicamos essa magnitude pelo comprimento de
:
Resposta
O valor de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Achar a distância da reta r ao plano
, nos casos:
Considere
e
vetores quaisquer. Prove que:
a) .
b) .
a)
b)
Determine o ponto do segmento
que está mais próximo do ponto
e o que está mais afastado de
, sendo
e
.
Dado o sistema
:
c) Resolva o sistema e verifique que toda
c) Resolva o sistema e verifique que toda