Determine o ponto do segmento que está mais próximo do ponto e o que está mais afastado de , sendo e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual ponto no segmento está mais perto do ponto e qual está mais longe. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de pontos em segmentos. Vamos precisar trabalhar com vetores e fórmulas de distância no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os pontos que temos:
Queremos encontrar um ponto no segmento que seja o mais próximo de e um ponto que seja o mais distante.
Passo 3
Para achar o ponto , vamos projetar o vetor no vetor . A fórmula para a projeção de um vetor em é:
Aqui, e .
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar os vetores e .
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
E o produto escalar :
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da projeção:
Passo 7
O ponto mais próximo de no segmento é:
Simplificando:
Passo 8
Agora, para encontrar o ponto que está mais distante de no segmento , vamos comparar as distâncias de aos pontos e .
Calculando a distância de a :
Calculando a distância de a :
Como , o ponto está mais distante de .
Resposta
O ponto no segmento que está mais próximo de é e o ponto que está mais distante de é .