Determine o ponto do segmento
que está mais próximo do ponto
e o que está mais afastado de
, sendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual ponto no segmento
está mais perto do ponto
e qual está mais longe. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de pontos em segmentos. Vamos precisar trabalhar com vetores e fórmulas de distância no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os pontos que temos:
Queremos encontrar um ponto
no segmento
que seja o mais próximo de
e um ponto
que seja o mais distante.
Passo 3
Para achar o ponto
, vamos projetar o vetor
no vetor
. A fórmula para a projeção de um vetor
em
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar os vetores
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
E o produto escalar
:
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da projeção:
Passo 7
O ponto
mais próximo de
no segmento
é:
Simplificando:
Passo 8
Agora, para encontrar o ponto
que está mais distante de
no segmento
, vamos comparar as distâncias de
aos pontos
e
.
Calculando a distância de
a
:
Calculando a distância de
a
:
Como
, o ponto
está mais distante de
.
Resposta
O ponto no segmento
que está mais próximo de
é
e o ponto que está mais distante de
é
.