Determine o ponto do segmento que está mais próximo do ponto e o que está mais afastado de , sendo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual ponto no segmento está mais perto do ponto e qual está mais longe. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de pontos em segmentos. Vamos precisar trabalhar com vetores e fórmulas de distância no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os pontos que temos:
Queremos encontrar um ponto no segmento que seja o mais próximo de e um ponto que seja o mais distante.

Passo 3

Para achar o ponto , vamos projetar o vetor no vetor . A fórmula para a projeção de um vetor em é:
Aqui, e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar os vetores e .

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
E o produto escalar :

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da projeção:

Passo 7

O ponto mais próximo de no segmento é:
Simplificando:

Passo 8

Agora, para encontrar o ponto que está mais distante de no segmento , vamos comparar as distâncias de aos pontos e .
Calculando a distância de a :
Calculando a distância de a :
Como , o ponto está mais distante de .

Resposta

O ponto no segmento que está mais próximo de é e o ponto que está mais distante de é .

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A medida em radianos do ângulo entre e e e é ortogonal a e a . Sendo e sabendo que é uma base, calcule .
Achar a distância da reta r ao plano , nos casos:
Dado o sistema :
c) Resolva o sistema e verifique que toda
i) Se é uma matriz diagonal, então