Determine o ponto do segmento A B que está mais próximo do ponto P e o que está mais afastado de P, sendo A=(1,2,1), B=(4,5,0) e P=(1,0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual ponto no segmento A B está mais perto do ponto P e qual está mais longe. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de pontos em segmentos. Vamos precisar trabalhar com vetores e fórmulas de distância no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os pontos que temos:
  • A = (1, 2, 1)
  • B = (4, 5, 0)
  • P = (1, 0, 4)
Queremos encontrar um ponto Q no segmento A B que seja o mais próximo de P e um ponto R que seja o mais distante.

Passo 3

Para achar o ponto Q, vamos projetar o vetor AP no vetor AB. A fórmula para a projeção de um vetor u em v é:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u = AP e v = AB.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar os vetores AP e AB.
AB = B - A = (4-1, 5-2, 0-1) = (3, 3, -1)
AP = P - A = (1-1, 0-2, 4-1) = (0, -2, 3)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar AP cdot AB:
AP cdot AB = (0)(3) + (-2)(3) + (3)(-1) = 0 -6 -3 = -9
E o produto escalar AB cdot AB:
AB cdot AB = (3)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 9 + 1 = 19

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da projeção:
projAB AP = ( -919 ) AB = ( -919 ) (3, 3, -1) = ( -2719, -2719, 919 )

Passo 7

O ponto Q mais próximo de P no segmento A B é:
Q = A + projAB AP = (1, 2, 1) + ( -2719, -2719, 919 ) = (1 - 2719, 2 - 2719, 1 + 919)
Simplificando:
Q = ( 19 - 2719, 38 - 2719, 19 + 919 ) = ( -819, 1119, 2819 )

Passo 8

Agora, para encontrar o ponto R que está mais distante de P no segmento A B, vamos comparar as distâncias de P aos pontos A e B.
Calculando a distância de P a A:
d(P, A) = raiz(1-1)^2 + (0-2)^2 + (4-1)^2 = raiz0 + 4 + 9 = raiz13
Calculando a distância de P a B:
d(P, B) = raiz(1-4)^2 + (0-5)^2 + (4-0)^2 = raiz9 + 25 + 16 = raiz50
Como raiz50 > raiz13, o ponto B está mais distante de P.

Resposta

O ponto no segmento A B que está mais próximo de P é Q = ( dfrac-819, dfrac1119, dfrac2819 ) e o ponto que está mais distante de P é B = (4, 5, 0).

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