Achar a distância entre as retas r1 e r2, nos casos : r1:lx=2-lambda y=3+lambda z=1-2 lambda e r2:lx=lambda y=-1-3 lambda z=2 lambda

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a distância entre duas retas no espaço tridimensional, chamadas de e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre retas que não se cruzam e não são paralelas (retas espálias). Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e um ponto em cada reta para aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações paramétricas das retas x = 2 - lambda y = 3 + lambda z = 1 - 2lambda e x = lambda y = -1 - 3lambda z = 2lambda :
Para :
Aqui, o vetor diretor da reta é .
Para :
E o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Escolhemos pontos específicos em cada reta para facilitar os cálculos. Podemos considerar o ponto quando P = (2, 3, 1) :
Para Q = (0, -1, 0) , quando :
Para , quando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor que liga os pontos PQ = Q - P = (0 - 2, -1 - 3, 0 - 1) = (-2, -4, -1) e :

Passo 5

Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula:
Distância = |PQ cdot (d1 times d2)||d1 times d2| â
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial .

Passo 6

Calculando o produto vetorial:
d1 times d2 = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 = i(1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) - j((-1) cdot 2 - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-3) - 1 cdot 1)
= i(2 - 6) - j(-2 + 2) + k(3 - 1) = (-4)i - (0)j + (2)k = (-4, 0, 2)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar PQ cdot (-4, 0, 2) = (-2)(-4) + (-4)(0) + (-1)(2) = 8 + 0 - 2 = 6 :
O valor absoluto desse resultado é .

Passo 8

Calculamos a magnitude do produto vetorial |d1 times d2| = raiz(-4)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55 â

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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