Para cada par de retas r e l abaixo, encontre r cap l, e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas:
r: x+12=y+4-5=z-23 e l: x-32=y+145=z-8-3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a interseção entre as retas e . Estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional, especificamente com retas representadas em forma paramétrica. Para resolver, precisamos determinar se as retas se cruzam (interseção existe), são paralelas ou são retas que não se intersectam e não são paralelas (retas reversas).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas x + 12 = y + 4-5 = z - 23 = t e x = 2t - 1 . Para a reta y = -5t - 4 :
z = 3t + 2
Isso nos dá:
x - 32 = y + 145 = z - 8-3 = s
x = 2s + 3
y = 5s - 14
Para a reta z = -3s + 8 :
Isso nos dá:

Passo 3

Para encontrar a interseção, devemos igualar as coordenadas correspondentes das retas 2t - 1 = 2s + 3 (1) e -5t - 4 = 5s - 14 (2) e resolver o sistema de equações resultante:
3t + 2 = -3s + 8 (3)

Passo 4

Resolvemos a equação (1) para expressar 2t - 1 = 2s + 3 2t - 4 = 2s s = t - 2 em termos de :

Passo 5

Substituímos -5t - 4 = 5(t - 2) - 14 -5t - 4 = 5t - 10 - 14 -5t - 4 = 5t - 24 -10t = -20 t = 2 na equação (2):

Passo 6

Agora, substituímos s = 2 - 2 = 0 em :

Passo 7

Verificamos se os valores de 3(2) + 2 = -3(0) + 8 6 + 2 = 0 + 8 8 = 8 (Verdadeiro) e satisfazem a equação (3):

Resposta

As retas e se intersectam no ponto . Portanto, .

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