Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta r :
A reta r passa pelo ponto P0=(1,-1,1) e é paralela à reta l: x-1=y=2 z-23.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta dada por . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso, principalmente sobre como definir retas no espaço usando um ponto e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta x = 1 + t y = t z = 1 + 32t . A equação nos dá uma forma paramétrica da reta . Vamos reescrever essa equação para identificar os componentes do vetor diretor.
Podemos colocar um parâmetro, digamos , para representar as variáveis:
Aqui, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

A reta x = 1 + t y = -1 + t z = 1 + 32t que queremos encontrar é paralela à reta , então ela terá o mesmo vetor diretor . Além disso, sabemos que passa pelo ponto .
Usando a forma paramétrica para a reta , podemos escrever:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Agora, vamos converter essas equações paramétricas para a forma simétrica. Na forma simétrica, isolamos o parâmetro t = x - 1 t = y + 11 t = 2(z - 1)3 em cada equação:
x - 11 = y + 11 = 2(z - 1)3
Igualando todos a :

Resposta

As equações da reta x = 1 + t y = -1 + t z = 1 + dfrac32t são:
Equações Paramétricas:
dfracx - 11 = dfracy + 11 = dfrac2(z - 1)3
Equações Simétricas:

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