Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta r :
A reta r é a interseção dos planos x+y+2 z=1 e 2 x- y+z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e equações simétricas da reta , que é a interseção dos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e a interseção de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele. Para o plano , o vetor normal é . Já para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Para encontrar a direção da reta d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 1 & 2 2 & -1 & 1 , que é a intersecção dos dois planos, vamos calcular o produto vetorial desses vetores normais. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores, ou seja, paralelo à reta de interseção.
d = i(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 2)
Calculando o determinante:
d = i(1 + 2) - j(1 - 4) + k(-1 - 2)
d = 3i + 3j - 3k
d = (1, 1, -1)
Podemos simplificar o vetor direção dividindo por 3:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um ponto que está na reta x + y + 2z = 1 2x - y + z = 2 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos dois planos para encontrar os valores de (x + y + 2z) + (2x - y + z) = 1 + 2 , 3x + 3z = 3 e x + z = 1 Rightarrow x = 1 - z .
Temos:
1 + y + 0 = 1 Rightarrow y = 0
Podemos resolver esse sistema. Vamos somar as duas equações:
Escolhemos (pode ser qualquer valor), então . Substituindo e na primeira equação:
Então, um ponto na reta é .

Passo 5

Com o ponto x = 1 + t y = 0 + t z = 0 - t e o vetor direção t = x - 1 = y = -z , podemos escrever as equações paramétricas da reta x - 11 = y1 = z-1 :
Onde é o parâmetro.
Para as equações simétricas, isolamos em cada uma das equações paramétricas:
Então, as equações simétricas ficam:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 1 + t y = t z = -t são:
x - 11 = y1 = z-1
E as equações simétricas da reta são:

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