Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta :
A reta é a interseção dos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e equações simétricas da reta , que é a interseção dos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e a interseção de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele. Para o plano , o vetor normal é . Já para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Para encontrar a direção da reta , que é a intersecção dos dois planos, vamos calcular o produto vetorial desses vetores normais. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores, ou seja, paralelo à reta de interseção.
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor direção dividindo por 3:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um ponto que está na reta . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos dois planos para encontrar os valores de , e .
Temos:
Podemos resolver esse sistema. Vamos somar as duas equações:
Escolhemos (pode ser qualquer valor), então . Substituindo e na primeira equação:
Então, um ponto na reta é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Onde é o parâmetro.
Para as equações simétricas, isolamos em cada uma das equações paramétricas:
Então, as equações simétricas ficam:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são:

Exercícios relacionados

Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta :
A reta passa pelo ponto e é paralela à reta .
Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta :
A reta passa pelos pontos e .
Achar a distância entre as retas e , nos casos : e
Para cada par de retas e abaixo, encontre , e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas:
e .