Achar a distância entre as retas r1 e r2, nos casos:
r1:lx=lambda+1 y=lambda+2 z=-2 lambda-2
e r2:lx=lambda y=1+3 lambda z=-4 lambda
Rpta: 0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a distância entre duas retas no espaço tridimensional. As retas são dadas pelas seguintes equações paramétricas:
  • lx=lambda+1 y=lambda+2 z=-2 lambda-2
  • lx=lambda y=1+3 lambda z=-4 lambda
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar retas no espaço através de equações paramétricas e como calcular a distância entre elas. Vamos seguir cada passo cuidadosamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a representação das retas. As equações paramétricas nos dão o valor de r1(lambda) = 1 2 -2 + lambda 1 1 -2 , 1 2 -2 e 1 1 -2 em função de um parâmetro r2(lambda) = 0 1 0 + lambda 1 3 -4 . Podemos reescrever as equações de cada reta na forma vetorial.
Para 0 1 0 :
1 3 -4
Aqui, é o ponto inicial da reta e é o vetor diretor.
Para :
Aqui, é o ponto inicial da reta e é o vetor diretor.

Passo 3

Agora, para encontrar a distância entre as duas retas, precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam em algum ponto.
Primeiro, verificamos se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Se forem, as retas são paralelas ou coincidentes.
Vamos comparar os vetores diretores:
1 1 -2 e 1 3 -4
Não existe um número que multiplicado por todos os componentes de um vetor resulte no outro, então as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se intersectam. Se as retas se cruzarem em algum ponto, a distância entre elas é zero.
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as equações paramétricas das duas retas:
lambda + 1 = mu lambda + 2 = 1 + 3mu -2lambda - 2 = -4mu
Onde e são os parâmetros das retas e respectivamente.

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
lambda = mu - 1
  1. Substituindo (mu - 1) + 2 = 1 + 3mu mu + 1 = 1 + 3mu 1 = 1 + 2mu 0 = 2mu mu = 0 na segunda equação:
lambda = 0 - 1 = -1
  1. Substituindo -2(-1) - 2 = -4(0) 2 - 2 = 0 0 = 0 na primeira equação:
  1. Verificando na terceira equação:
As equações são satisfeitas, então as retas se cruzam no ponto correspondente a e .

Resposta

0

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