Dada uma transformação linear
, mostre que
é um subespaço vetorial de
e que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente mostrar que o núcleo da transformação linear
, representado por
, e a imagem dessa transformação,
, são subespaços vetoriais dos espaços
e
, respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja:
Para mostrar que
é um subespaço vetorial, precisamos verificar três coisas:
- O vetor zero está no núcleo.
- Se dois vetores estão no núcleo, a soma deles também está.
- Se um vetor está no núcleo, qualquer múltiplo escalar dele também está.
Passo 3
Vamos verificar cada um desses pontos para
:
- Vetor zero está no núcleo: Aplicando
ao vetor zero, temos , então . - Fechamento em adição: Se
, então , logo . - Fechamento em multiplicação escalar: Se
e é um escalar, então , então .
Como todos os três critérios são satisfeitos, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são alcançados por
a partir de algum vetor em
. Formalmente:
Para mostrar que
é um subespaço vetorial de
, precisamos verificar os mesmos três critérios:
- O vetor zero está na imagem.
- Se dois vetores estão na imagem, a soma deles também está.
- Se um vetor está na imagem, qualquer múltiplo escalar dele também está.
Passo 5
Vamos verificar cada ponto para
:
- Vetor zero está na imagem: Como
, então , portanto . - Fechamento em adição: Se
, então existem tais que e . Então, , e como , temos . - Fechamento em multiplicação escalar: Se
e é um escalar, então existe tal que . Assim, , e como , temos .
Como todos os três critérios são atendidos, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Demonstramos que tanto
quanto
satisfazem os critérios para serem subespaços vetoriais dos respectivos espaços
e
. Portanto,
é um subespaço vetorial de
e
é um subespaço vetorial de
.