Dada uma transformação linear T: R^n R^m, mostre que ker(T) é um subespaço vetorial de R^n e que Im(T) é um subespaço vetorial de R^m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente mostrar que o núcleo da transformação linear , representado por , e a imagem dessa transformação, , são subespaços vetoriais dos espaços e , respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de ker(T) = v in R^n mid T(v) = 0 , que é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Para mostrar que é um subespaço vetorial, precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está no núcleo.
  2. Se dois vetores estão no núcleo, a soma deles também está.
  3. Se um vetor está no núcleo, qualquer múltiplo escalar dele também está.

Passo 3

Vamos verificar cada um desses pontos para :
  1. Vetor zero está no núcleo: Aplicando ao vetor zero, temos , então .
  2. Fechamento em adição: Se , então , logo .
  3. Fechamento em multiplicação escalar: Se e é um escalar, então , então .
Como todos os três critérios são satisfeitos, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de .

Passo 4

Agora, vamos analisar a imagem de Im(T) = T(v) mid v in R^n , que é o conjunto de todos os vetores em que são alcançados por a partir de algum vetor em . Formalmente:
Para mostrar que é um subespaço vetorial de , precisamos verificar os mesmos três critérios:
  1. O vetor zero está na imagem.
  2. Se dois vetores estão na imagem, a soma deles também está.
  3. Se um vetor está na imagem, qualquer múltiplo escalar dele também está.

Passo 5

Vamos verificar cada ponto para :
  1. Vetor zero está na imagem: Como , então , portanto .
  2. Fechamento em adição: Se , então existem tais que e . Então, , e como , temos .
  3. Fechamento em multiplicação escalar: Se e é um escalar, então existe tal que . Assim, , e como , temos .
Como todos os três critérios são atendidos, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Resposta

Demonstramos que tanto quanto satisfazem os critérios para serem subespaços vetoriais dos respectivos espaços e . Portanto, é um subespaço vetorial de e é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados