Encontre a distância do ponto P à reta r, nos casos:
P(1,2,3), r : eixo dos z Rpta: raiz5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto e a reta , que é o eixo dos . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o eixo dos é a reta que passa pela origem e tem direção no vetor . Ou seja, qualquer ponto na reta pode ser representado como , onde é um número real.

Passo 3

A fórmula para a distância d = |v times AP||v| entre o ponto e a reta que passa por um ponto com direção é:
onde é o vetor que vai de até .

Passo 4

No nosso caso, v times AP = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & 2 & 3 = (0 cdot 3 - 1 cdot 2)i - (0 cdot 3 - 1 cdot 1)j + (0 cdot 2 - 0 cdot 1)k = (-2)i + (1)j + (0)k = (-2, 1, 0) é a origem , então e . Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
|v times AP| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 = raiz5
E o módulo de |v| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 é:

Resposta

A distância do ponto à reta é .

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