(b) Determine uma base para e diga qual é a dimensão deste subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma base para a imagem da transformação linear definida por . A imagem de , ou , é basicamente todos os vetores que a transformação pode gerar. Para achar uma base, precisamos encontrar vetores que gerem essa imagem de maneira independente. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, imagem, e base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a transformação faz. Ela pega um vetor de e transforma em . Pra achar a imagem, precisamos ver todos os possíveis vetores que podemos obter variando .
Passo 3
Vamos expressar a imagem em termos das variáveis livres. Observamos que é uma das componentes, então podemos escolher como uma variável livre. Para e , podemos escolher uma delas como variável livre também. Vamos definir, por exemplo, e como variáveis livres, e expressar em função de e .
Passo 4
A transformação nos dá:
Sabemos que e , então . Isso significa que a terceira componente é determinística baseada na primeira.
Passo 5
Agora, vamos expressar b = x - y Rightarrow y = x - b em termos de (z, b, -z) e . Da segunda equação, temos:
Mas como queremos expressar todos os vetores em termos de parâmetros livres, vamos considerar e como livres, e como parâmetro. Então, podemos reescrever o vetor na imagem como:
onde e são livres.
Passo 6
Isso nos mostra que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores:
z(1, 0, -1) + b(0, 1, 0)
Portanto, uma base para é composta por esses dois vetores: e .