Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(n) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+a, y+b), onde a, b in R são constantes (conhecida como translação segundo o vetor (a, b) );

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Queremos verificar se a transformação , definida por , onde e são constantes reais, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor em e escalar .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2 + a, y1 + y2 + b) e T(u) + T(v) = (x1 + a, y1 + b) + (x2 + a, y2 + b) = (x1 + a + x2 + a, y1 + b + y2 + b) = (x1 + x2 + 2a, y1 + y2 + 2b) . Então:
T(u + v) = (x1 + x2 + a, y1 + y2 + b)
Agora, calculando T(u) + T(v) = (x1 + x2 + 2a, y1 + y2 + 2b) :
Comparando os dois resultados:
Claramente, a menos que e .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja T(c u) = T(cx, cy) = (cx + a, cy + b) um escalar real e c T(u) = c (x + a, y + b) = (c(x + a), c(y + b)) = (cx + c a, cy + c b) . Então:
T(c u) = (cx + a, cy + b)
Agora, calculando c T(u) = (cx + c a, cy + c b) :
Comparando os dois resultados:
Novamente, a menos que e .

Resposta

A transformação não é linear, a menos que e .

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