Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(n)
dada por
, onde
são constantes (conhecida como translação segundo o vetor
);
(n)
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Queremos verificar se a transformação
, definida por
, onde
e
são constantes reais, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e em . - Homogeneidade:
para qualquer vetor em e escalar .
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Seja
e
. Então:
Agora, calculando
:
Comparando os dois resultados:
Claramente,
a menos que
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja
um escalar real e
. Então:
Agora, calculando
:
Comparando os dois resultados:
Novamente,
a menos que
e
.
Resposta
A transformação
não é linear, a menos que
e
.