Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro que descreve a geratriz e de um parâmetro que identifique o ângulo de rotação.
(a) , em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana da superfície resultante da rotação da curva , onde , em torno do eixo dos . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Além disso, vamos elaborar uma parametrização usando dois parâmetros: para a geratriz da curva e para o ângulo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está definida por e , o que significa que é uma hipérbole no plano . Agora, ao rotacionar essa hipérbole em torno do eixo dos , vamos gerar uma superfície de segundo grau.

Passo 3

Para encontrar a equação cartesiana da superfície, observe que durante a rotação, a coordenada permanece a mesma, enquanto as coordenadas e mudam dependendo do ângulo de rotação . Podemos expressar e em termos de usando funções trigonométricas:

Passo 4

Substituímos essas expressões na equação original da hipérbole:
Simplificando:

Passo 5

Para eliminar o parâmetro e obter a equação cartesiana da superfície, notamos que . Porém, como varia livremente, podemos considerar que a relação entre , e define a rotação completa ao redor do eixo dos . Assim, a equação da superfície permanece:

Passo 6

Agora, vamos elaborar a parametrização da superfície usando os parâmetros e . O parâmetro vai representar a coordenação ao longo da hipérbole original, e o ângulo de rotação.
Podemos parametrizar e da hipérbole em termos de :
Então, incorporando a rotação, temos:

Resposta

A equação cartesiana da superfície é . A parametrização da superfície é dada por:

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Considere a transformação linear definida por
© é injetora? Justifique.
Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(b) .
Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(d) .