Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro u que descreve a geratriz e de um parâmetro v que identifique o ângulo de rotação.
(a) Gamma: x^2-2 z^2=1, y=0, em torno do eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana da superfície resultante da rotação da curva Gamma: x^2 - 2 z^2 = 1, onde y=0, em torno do eixo dos x. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Além disso, vamos elaborar uma parametrização usando dois parâmetros: u para a geratriz da curva e v para o ângulo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva Gamma. Ela está definida por x^2 - 2 z^2 = 1 e y=0, o que significa que é uma hipérbole no plano xz. Agora, ao rotacionar essa hipérbole em torno do eixo dos x, vamos gerar uma superfície de segundo grau.

Passo 3

Para encontrar a equação cartesiana da superfície, observe que durante a rotação, a coordenada x permanece a mesma, enquanto as coordenadas y e z mudam dependendo do ângulo de rotação v. Podemos expressar y e z em termos de v usando funções trigonométricas:
y = z cdot sin(v)
z = z cdot cos(v)

Passo 4

Substituímos essas expressões na equação original da hipérbole:
x^2 - 2(z cdot cos(v))^2 = 1
Simplificando:
x^2 - 2 z^2 cos^2(v) = 1

Passo 5

Para eliminar o parâmetro v e obter a equação cartesiana da superfície, notamos que cos^2(v) = 1 - sin^2(v). Porém, como v varia livremente, podemos considerar que a relação entre y, z e v define a rotação completa ao redor do eixo dos x. Assim, a equação da superfície permanece:
x^2 - 2 y^2 - 2 z^2 = 1

Passo 6

Agora, vamos elaborar a parametrização da superfície usando os parâmetros u e v. O parâmetro u vai representar a coordenação ao longo da hipérbole original, e v o ângulo de rotação.
Podemos parametrizar x e z da hipérbole em termos de u:
x = raiz1 + 2u^2
z = u
Então, incorporando a rotação, temos:
y = u cdot sin(v)
z = u cdot cos(v)
x = raiz1 + 2u^2

Resposta

A equação cartesiana da superfície é x^2 - 2 y^2 - 2 z^2 = 1. A parametrização da superfície é dada por:
x = raiz1 + 2u^2 y = u cdot sin(v) z = u cdot cos(v)

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