Achar a equação de um cone K de vértice S(5,0,0) e cujas geratrizes são tangentes à esfera x^2+y^2+z^2=9. Em seguida, dê uma terna de equações paramétricas K.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação de um cone K que tem o vértice no ponto S(5,0,0) e cujas geratrizes (as “ramificações” do cone) são tangentes à esfera dada pela equação x^2+y^2+z^2=9. Depois, precisamos escrever uma terna de equações paramétricas para esse cone.
Vamos precisar trabalhar com geometria analítica, especialmente com a equação de cones e o conceito de tangência entre retas e superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as geratrizes do cone são tangentes à esfera x^2+y^2+z^2=9. A esfera tem centro na origem (0,0,0) e raio 3 (já que 3^2 = 9).
O cone tem vértice em S(5,0,0), e suas geratrizes são linhas que partem desse ponto e tocam a esfera em apenas um ponto (tangentes). Vamos precisar encontrar a relação entre o vértice do cone e a esfera para determinar a equação do cone.

Passo 3

A equação geral de um cone com vértice em (x0, y0, z0) pode ser obtida usando o conceito de ângulo entre as geratrizes e o eixo do cone. Mas uma abordagem mais direta aqui é considerar que a geratriz do cone é uma reta tangente à esfera.
Para encontrar essa condição de tangência, vamos considerar uma reta que passa pelo vértice S(5,0,0) e é tangente à esfera. A condição de tangência nos ajuda a relacionar as coordenadas e encontrar a equação do cone.

Passo 4

Vamos parametrizar uma reta que passa por S(5,0,0) com direção arbitrária (a, b, c). A equação paramétrica dessa reta é:
x = 5 + at y = 0 + bt z = 0 + ct
Para essa reta ser tangente à esfera x^2+y^2+z^2=9, precisamos que o sistema formado pela equação da reta e da esfera tenha exatamente uma solução, ou seja, que o discriminante da equação quadrática resultante seja zero.

Passo 5

Substituindo as equações da reta na da esfera:
(5 + at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2 = 9
Expandindo:
25 + 10at + a^2 t^2 + b^2 t^2 + c^2 t^2 = 9
Reorganizando:
(a^2 + b^2 + c^2)t^2 + 10a t + 16 = 0
Para que haja uma única solução (tangência), o discriminante dessa equação quadrática em t deve ser zero:
De
Simplificando:
100a^2 - 64(a^2 + b^2 + c^2) = 0 100a^2 = 64a^2 + 64b^2 + 64c^2 36a^2 = 64b^2 + 64c^2 9a^2 = 16b^2 + 16c^2
Então, temos a relação:
9a^2 = 16b^2 + 16c^2

Passo 6

Para encontrar a equação do cone, precisamos relacionar x, y, e z. Observando a relação acima, podemos expressar-a em termos das coordenadas da reta.
Dividindo ambos os lados por a^2, assumindo a neq 0, temos:
9 = 16(b^2 + c^2a^2)
Mas ba e ca são as direções da reta, que correspondem aos coeficientes na equação do cone. Substituindo de volta nas equações coordenadas, obtemos a equação do cone.

Passo 7

Finalmente, a equação do cone pode ser escrita como:
9(y^2 + z^2) = 16(x - 5)^2
Essa é a equação geral do cone K com vértice em S(5,0,0) e geratrizes tangentes à esfera dada.

Resposta

A equação do cone K é 9(y^2+z^2) = 16(x-5)^2. Uma terna de equações paramétricas para K é:
x = 5 + 43u cos v y = u sin v z = u sin v
onde u e v são parâmetros reais.

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