Achar a equação de um cone de vértice e cujas geratrizes são tangentes à esfera . Em seguida, dê uma terna de equações paramétricas .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação de um cone que tem o vértice no ponto e cujas geratrizes (as “ramificações” do cone) são tangentes à esfera dada pela equação . Depois, precisamos escrever uma terna de equações paramétricas para esse cone.
Vamos precisar trabalhar com geometria analítica, especialmente com a equação de cones e o conceito de tangência entre retas e superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as geratrizes do cone são tangentes à esfera . A esfera tem centro na origem e raio (já que ).
O cone tem vértice em , e suas geratrizes são linhas que partem desse ponto e tocam a esfera em apenas um ponto (tangentes). Vamos precisar encontrar a relação entre o vértice do cone e a esfera para determinar a equação do cone.

Passo 3

A equação geral de um cone com vértice em pode ser obtida usando o conceito de ângulo entre as geratrizes e o eixo do cone. Mas uma abordagem mais direta aqui é considerar que a geratriz do cone é uma reta tangente à esfera.
Para encontrar essa condição de tangência, vamos considerar uma reta que passa pelo vértice e é tangente à esfera. A condição de tangência nos ajuda a relacionar as coordenadas e encontrar a equação do cone.

Passo 4

Vamos parametrizar uma reta que passa por com direção arbitrária . A equação paramétrica dessa reta é:
Para essa reta ser tangente à esfera , precisamos que o sistema formado pela equação da reta e da esfera tenha exatamente uma solução, ou seja, que o discriminante da equação quadrática resultante seja zero.

Passo 5

Substituindo as equações da reta na da esfera:
Expandindo:
Reorganizando:
Para que haja uma única solução (tangência), o discriminante dessa equação quadrática em deve ser zero:
Simplificando:
Então, temos a relação:

Passo 6

Para encontrar a equação do cone, precisamos relacionar , , e . Observando a relação acima, podemos expressar-a em termos das coordenadas da reta.
Dividindo ambos os lados por , assumindo , temos:
Mas e são as direções da reta, que correspondem aos coeficientes na equação do cone. Substituindo de volta nas equações coordenadas, obtemos a equação do cone.

Passo 7

Finalmente, a equação do cone pode ser escrita como:
Essa é a equação geral do cone com vértice em e geratrizes tangentes à esfera dada.

Resposta

A equação do cone é . Uma terna de equações paramétricas para é:
onde e são parâmetros reais.

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear definida por
© é injetora? Justifique.
Determinar a equação da superfície cilíndrica que tem como diretriz a curva de equações reduzidas e cuja geratriz é paralela à reta de equações reduzidas , .
Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro que descreve a geratriz e de um parâmetro que identifique o ângulo de rotação.
(a) , em torno do eixo .
Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(b) .