Achar a equação de um cone de vértice e cujas geratrizes são tangentes à esfera . Em seguida, dê uma terna de equações paramétricas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação de um cone que tem o vértice no ponto e cujas geratrizes (as “ramificações” do cone) são tangentes à esfera dada pela equação . Depois, precisamos escrever uma terna de equações paramétricas para esse cone.
Vamos precisar trabalhar com geometria analítica, especialmente com a equação de cones e o conceito de tangência entre retas e superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que as geratrizes do cone são tangentes à esfera . A esfera tem centro na origem e raio (já que ).
O cone tem vértice em , e suas geratrizes são linhas que partem desse ponto e tocam a esfera em apenas um ponto (tangentes). Vamos precisar encontrar a relação entre o vértice do cone e a esfera para determinar a equação do cone.
Passo 3
A equação geral de um cone com vértice em pode ser obtida usando o conceito de ângulo entre as geratrizes e o eixo do cone. Mas uma abordagem mais direta aqui é considerar que a geratriz do cone é uma reta tangente à esfera.
Para encontrar essa condição de tangência, vamos considerar uma reta que passa pelo vértice e é tangente à esfera. A condição de tangência nos ajuda a relacionar as coordenadas e encontrar a equação do cone.
Passo 4
Vamos parametrizar uma reta que passa por com direção arbitrária . A equação paramétrica dessa reta é:
Para essa reta ser tangente à esfera , precisamos que o sistema formado pela equação da reta e da esfera tenha exatamente uma solução, ou seja, que o discriminante da equação quadrática resultante seja zero.
Passo 5
Substituindo as equações da reta na da esfera:
Expandindo:
Reorganizando:
Para que haja uma única solução (tangência), o discriminante dessa equação quadrática em deve ser zero:
Simplificando:
Então, temos a relação:
Passo 6
Para encontrar a equação do cone, precisamos relacionar , , e . Observando a relação acima, podemos expressar-a em termos das coordenadas da reta.
Dividindo ambos os lados por , assumindo , temos:
Mas e são as direções da reta, que correspondem aos coeficientes na equação do cone. Substituindo de volta nas equações coordenadas, obtemos a equação do cone.
Passo 7
Finalmente, a equação do cone pode ser escrita como:
Essa é a equação geral do cone com vértice em e geratrizes tangentes à esfera dada.
Resposta
A equação do cone é . Uma terna de equações paramétricas para é: