Sejam T: R^2 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y)=(y, x) e S(x, y)=(0, x)
Determine:
(d) (S circ T)(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Somos dados duas transformações, e , que agem em vetores do plano . Precisamos determinar a composição dessas transformações, ou seja, aplicar uma depois da outra. Para isso, vamos usar as definições das transformações dadas e seguir passo a passo para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que primeiro aplicamos a transformação no vetor e depois aplicamos no resultado dessa primeira transformação. É como se fosse uma ação em cadeia: faz uma primeira mudança, e então faz uma segunda mudança sobre o resultado de .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(x, y) = (y, x) no vetor T(x, y) = (y, x) . A transformação está definida por:
Então, aplicando em , trocamos as coordenadas:
Agora, temos o vetor resultante .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação S(u, v) = (0, u) no resultado de S(y, x) = (0, y) , que foi . A transformação está definida por:
Aqui, substituímos por e por :
Então, o resultado da transformação aplicada em é .

Resposta

A composição das transformações (S circ T)(x, y) = (0, y) e aplicada em resulta em:

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