Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Somos dados duas transformações,
e
, que agem em vetores do plano
. Precisamos determinar a composição dessas transformações, ou seja, aplicar uma depois da outra. Para isso, vamos usar as definições das transformações dadas e seguir passo a passo para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que primeiro aplicamos a transformação
no vetor
e depois aplicamos
no resultado dessa primeira transformação. É como se fosse uma ação em cadeia:
faz uma primeira mudança, e então
faz uma segunda mudança sobre o resultado de
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
no vetor
. A transformação
está definida por:
Então, aplicando
em
, trocamos as coordenadas:
Agora, temos o vetor resultante
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformação
no resultado de
, que foi
. A transformação
está definida por:
Aqui, substituímos
por
e
por
:
Então, o resultado da transformação
aplicada em
é
.
Resposta
A composição das transformações
e
aplicada em
resulta em: