Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Somos dados duas transformações, e , que agem em vetores do plano . Precisamos determinar a composição dessas transformações, ou seja, aplicar uma depois da outra. Para isso, vamos usar as definições das transformações dadas e seguir passo a passo para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que primeiro aplicamos a transformação no vetor e depois aplicamos no resultado dessa primeira transformação. É como se fosse uma ação em cadeia: faz uma primeira mudança, e então faz uma segunda mudança sobre o resultado de .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação no vetor . A transformação está definida por:
Então, aplicando em , trocamos as coordenadas:
Agora, temos o vetor resultante .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação no resultado de , que foi . A transformação está definida por:
Aqui, substituímos por e por :
Então, o resultado da transformação aplicada em é .

Resposta

A composição das transformações e aplicada em resulta em:

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Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(b) .
Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro que descreve a geratriz e de um parâmetro que identifique o ângulo de rotação.
(a) , em torno do eixo .
Achar a equação de um cilindro cuja diretriz é dada pelas equações e as geratrizes são perpendiculares ao plano da diretriz.
Demonstrar que a equação define um cone de vértice situado na origem dos eixos. Faça um esboço. Em seguida, dê uma parametrização para .