Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Somos dados duas transformações,
e
, que agem em vetores do plano
. Precisamos determinar a composição dessas transformações, ou seja, aplicar uma depois da outra. Para isso, vamos usar as definições das transformações dadas e seguir passo a passo para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que primeiro aplicamos a transformação
no vetor
e depois aplicamos
no resultado dessa primeira transformação. É como se fosse uma ação em cadeia:
faz uma primeira mudança, e então
faz uma segunda mudança sobre o resultado de
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
no vetor
. A transformação
está definida por:
Então, aplicando
em
, trocamos as coordenadas:
Agora, temos o vetor resultante
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformação
no resultado de
, que foi
. A transformação
está definida por:
Aqui, substituímos
por
e
por
:
Então, o resultado da transformação
aplicada em
é
.
Resposta
A composição das transformações
e
aplicada em
resulta em:
Exercícios relacionados
Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
(b) .
(b)
Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro
que descreve a geratriz e de um parâmetro
que identifique o ângulo de rotação.
(a) , em torno do eixo
.
(a)
Achar a equação de um cilindro cuja diretriz é dada pelas equações
e as geratrizes são perpendiculares ao plano da diretriz.
Demonstrar que a equação
define um cone
de vértice situado na origem dos eixos. Faça um esboço. Em seguida, dê uma parametrização para
.