Considere a transformação linear T: R^4 R^3 definida por
T(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
© T é injetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, especificamente sobre saber se a transformação T(x, y, z, t) = (x - y + z + t, x + 2z - t, x + y + 3z - 3t) definida por
é injetora. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser injetora e como verificar isso usando álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação injetora. Uma transformação linear é injetora se, e somente se, ela não “acha” dois vetores diferentes que são mapeados para o mesmo vetor no espaço de chegada. Em termos matemáticos, isso significa que se , então . Outra forma de verificar isso é vendo se o único vetor que vira zero quando aplicamos é o vetor zero.

Passo 3

Para verificar se T(x, y, z, t) = (0, 0, 0) é injetora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em tais que , ou seja:
Se a única solução para esse sistema for , então é injetora. Se houver outras soluções, não é injetora.

Passo 4

Vamos montar as equações a partir de x - y + z + t = 0 x + 2z - t = 0 x + y + 3z - 3t = 0 :
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 5

Primeiro, da segunda equação:
x + 2z - t = 0 implies x = -2z + t
Vamos substituir (-2z + t) - y + z + t = 0 implies -z + 2t - y = 0 implies y = -z + 2t na primeira e na terceira equação:
  1. Na primeira:
(-2z + t) + y + 3z - 3t = 0
  1. Na terceira:
(-2z + t) + (-z + 2t) + 3z - 3t = 0 implies (-2z - z + 3z) + (t + 2t - 3t) = 0 implies 0 = 0
Substituindo de antes:
Isso nos mostra que a terceira equação não nos dá nenhuma nova informação.

Passo 6

Então, as soluções do sistema dependem de x = -2(1) + 0 = -2 y = -1 + 0 = -1 e . Podemos escolher valores para e e encontrar e correspondentes. Por exemplo, se escolhermos e :
Então, temos uma solução que não é o vetor zero. Isso significa que existe pelo menos um vetor diferente de zero que é mapeado para zero por .

Resposta

Não, não é injetora porque existem vetores diferentes de zero que são mapeados para o vetor zero.

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