Achar a equação de um cilindro cuja diretriz é dada pelas equações e as geratrizes são perpendiculares ao plano da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um cilindro cuja diretriz é definida pelas equações e . Além disso, as geratrizes (as linhas que “geram” o cilindro) são perpendiculares ao plano da diretriz. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra para montar a equação final do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a diretriz do cilindro. A diretriz é a curva que, ao ser movida ao longo das geratrizes, forma o cilindro. No nosso caso, a diretriz está definida pelas equações:
– que representa uma hipérbole.
– que é um plano no espaço.
Passo 3
As geratrizes são as linhas que movem a diretriz para formar o cilindro. Como elas são perpendiculares ao plano , precisamos encontrar a direção dessas linhas. A direção perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal ao plano. Para o plano , o vetor normal é .
Passo 4
Agora, vamos expressar as geratrizes usando o vetor normal. As geratrizes podem ser descritas pelas equações paramétricas:
onde é um ponto na diretriz e é um parâmetro real.
Passo 5
Sabemos que a diretriz está no plano , então qualquer ponto na diretriz deve satisfazer essa equação:
Além disso, esses pontos também satisfazem a equação da hipérbole:
Passo 6
Vamos agora relacionar as coordenadas gerais com as coordenadas da diretriz usando as geratrizes:
Como , e , substituímos na equação da hipérbole:
Passo 7
Vamos resolver a equação acima para eliminar o parâmetro . Primeiro, expandimos os quadrados:
Simplificando:
Passo 8
Organizando os termos:
Agora, vamos lembrar que do passo anterior, também temos a relação do plano:
Passo 9
Substituindo na equação que obtivemos:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores: