Achar a equação de um cilindro cuja diretriz é dada pelas equações x^2-y^2=x, x+y+z=0 e as geratrizes são perpendiculares ao plano da diretriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um cilindro cuja diretriz é definida pelas equações e . Além disso, as geratrizes (as linhas que “geram” o cilindro) são perpendiculares ao plano da diretriz. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra para montar a equação final do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a diretriz do cilindro. A diretriz é a curva que, ao ser movida ao longo das geratrizes, forma o cilindro. No nosso caso, a diretriz está definida pelas equações:
  1. – que representa uma hipérbole.
  2. – que é um plano no espaço.

Passo 3

As geratrizes são as linhas que movem a diretriz para formar o cilindro. Como elas são perpendiculares ao plano , precisamos encontrar a direção dessas linhas. A direção perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal ao plano. Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

Agora, vamos expressar as geratrizes usando o vetor normal. As geratrizes podem ser descritas pelas equações paramétricas:
x = x0 + t y = y0 + t z = z0 + t
onde é um ponto na diretriz e é um parâmetro real.

Passo 5

Sabemos que a diretriz está no plano x0 + y0 + z0 = 0 , então qualquer ponto x0^2 - y0^2 = x0 na diretriz deve satisfazer essa equação:
Além disso, esses pontos também satisfazem a equação da hipérbole:

Passo 6

Vamos agora relacionar as coordenadas gerais x = x0 + t y = y0 + t z = z0 + t com as coordenadas da diretriz (x - t)^2 - (y - t)^2 = x - t usando as geratrizes:
Como , e , substituímos na equação da hipérbole:

Passo 7

Vamos resolver a equação acima para eliminar o parâmetro (x - t)^2 - (y - t)^2 = x - t Rightarrow (x^2 - 2xt + t^2) - (y^2 - 2yt + t^2) = x - t . Primeiro, expandimos os quadrados:
x^2 - y^2 - 2xt + 2yt = x - t
Simplificando:

Passo 8

Organizando os termos:
x^2 - y^2 - 2xt + 2yt - x + t = 0
Agora, vamos lembrar que do passo anterior, também temos a relação do plano:
x0 + y0 + z0 = 0 Rightarrow (x - t) + (y - t) + (z - t) = 0 Rightarrow x + y + z - 3t = 0 Rightarrow t = x + y + z3

Passo 9

Substituindo x^2 - y^2 - 2x(x + y + z3) + 2y(x + y + z3) - x + (x + y + z3) = 0 na equação que obtivemos:
3x^2 - 3y^2 - 2x(x + y + z) + 2y(x + y + z) - 3x + (x + y + z) = 0
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 10

Expandindo e simplificando:
3x^2 - 3y^2 - 2x^2 - 2xy - 2xz + 2xy + 2y^2 + 2yz - 3x + x + y + z = 0 Rightarrow x^2 - y^2 - 2xz + 2yz - 2x + y + z = 0

Resposta

A equação do cilindro é:
x^2 - y^2 - 2xz + 2yz - 2x + y + z = 0

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