Achar a equação de um cilindro cuja diretriz é dada pelas equações e as geratrizes são perpendiculares ao plano da diretriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um cilindro cuja diretriz é definida pelas equações e . Além disso, as geratrizes (as linhas que “geram” o cilindro) são perpendiculares ao plano da diretriz. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra para montar a equação final do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a diretriz do cilindro. A diretriz é a curva que, ao ser movida ao longo das geratrizes, forma o cilindro. No nosso caso, a diretriz está definida pelas equações:
  1. – que representa uma hipérbole.
  2. – que é um plano no espaço.

Passo 3

As geratrizes são as linhas que movem a diretriz para formar o cilindro. Como elas são perpendiculares ao plano , precisamos encontrar a direção dessas linhas. A direção perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal ao plano. Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

Agora, vamos expressar as geratrizes usando o vetor normal. As geratrizes podem ser descritas pelas equações paramétricas:
onde é um ponto na diretriz e é um parâmetro real.

Passo 5

Sabemos que a diretriz está no plano , então qualquer ponto na diretriz deve satisfazer essa equação:
Além disso, esses pontos também satisfazem a equação da hipérbole:

Passo 6

Vamos agora relacionar as coordenadas gerais com as coordenadas da diretriz usando as geratrizes:
Como , e , substituímos na equação da hipérbole:

Passo 7

Vamos resolver a equação acima para eliminar o parâmetro . Primeiro, expandimos os quadrados:
Simplificando:

Passo 8

Organizando os termos:
Agora, vamos lembrar que do passo anterior, também temos a relação do plano:

Passo 9

Substituindo na equação que obtivemos:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 10

Expandindo e simplificando:

Resposta

A equação do cilindro é:

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