No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determine as dimensões de: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as dimensões de vários subespaços no espaço tridimensional . Estamos lidando com subespaços como , , , e também combinações deles, como e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços, dimensão, soma de subespaços e intersecção de subespaços. Precisamos verificar a independência linear dos vetores que geram cada subespaço e aplicar algumas fórmulas básicas de álgebra linear.
Passo 2
Vamos começar determinando a dimensão do subespaço . Ele é gerado pelos vetores e . Para saber a dimensão, precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, então a dimensão de será 2; caso contrário, será 1.
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas:
Calculamos o determinante da matriz formada pelos vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.
Passo 4
Agora, vamos determinar a dimensão do subespaço , gerado pelos vetores e . Assim como fizemos para , vamos verificar a independência linear desses vetores.
Passo 5
Montamos a matriz com os vetores de :
Calculamos o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.
Passo 6
Vamos agora analisar o subespaço , definido pelas equações:
Isso representa um conjunto de vetores que satisfazem essas duas equações.
Passo 7
Podemos resolver o sistema para expressar algumas variáveis em termos de outras.
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Então, os vetores em podem ser escritos como:
Isso mostra que é uma reta (pois há apenas uma variável livre, ), implicando que sua dimensão é 1.
Passo 8
Agora, vamos determinar a dimensão do subespaço , definido pela equação:
Isto representa um plano no espaço .
Passo 9
Para encontrar a dimensão de , observamos que a equação define um plano, que é um subespaço de dimensão 2 em .
Passo 10
Vamos resumir as dimensões encontradas até agora:
Passo 11
Agora, vamos calcular a dimensão da soma dos subespaços . A fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços é:
Para aplicar essa fórmula, precisamos primeiro encontrar a dimensão da interseção .
Passo 12
Para encontrar , buscamos vetores que pertencem tanto a quanto a . Ou seja, queremos encontrar vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de e também como combinação linear dos vetores de .
Isso implica resolver o sistema:
Que leva a um sistema de equações:
Após resolver esse sistema, descobrimos que a única solução trivial é , indicando que a interseção é trivial, ou seja, contém apenas o vetor zero.
Portanto, .
Passo 13
Agora, aplicamos a fórmula da dimensão da soma:
Mas, como estamos no espaço , a dimensão máxima que um subespaço pode ter é 3. Portanto, .
Passo 14
Vamos agora encontrar a dimensão da interseção . Precisamos encontrar vetores que pertencem tanto a quanto a . Isso significa resolver o seguinte sistema:
Um vetor em pode ser escrito como .
E as condições para estar em são:
Substituindo as componentes do vetor de nas condições de :
Substituindo na primeira equação:
Então, o vetor na interseção é:
Isso indica que a interseção é uma reta, portanto, sua dimensão é 1.