No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determine as dimensões de: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as dimensões de vários subespaços no espaço tridimensional . Estamos lidando com subespaços como , , , e também combinações deles, como e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços, dimensão, soma de subespaços e intersecção de subespaços. Precisamos verificar a independência linear dos vetores que geram cada subespaço e aplicar algumas fórmulas básicas de álgebra linear.

Passo 2

Vamos começar determinando a dimensão do subespaço . Ele é gerado pelos vetores e . Para saber a dimensão, precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, então a dimensão de será 2; caso contrário, será 1.

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas:
Calculamos o determinante da matriz formada pelos vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.

Passo 4

Agora, vamos determinar a dimensão do subespaço , gerado pelos vetores e . Assim como fizemos para , vamos verificar a independência linear desses vetores.

Passo 5

Montamos a matriz com os vetores de :
Calculamos o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.

Passo 6

Vamos agora analisar o subespaço , definido pelas equações:
Isso representa um conjunto de vetores que satisfazem essas duas equações.

Passo 7

Podemos resolver o sistema para expressar algumas variáveis em termos de outras.
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Então, os vetores em podem ser escritos como:
Isso mostra que é uma reta (pois há apenas uma variável livre, ), implicando que sua dimensão é 1.

Passo 8

Agora, vamos determinar a dimensão do subespaço , definido pela equação:
Isto representa um plano no espaço .

Passo 9

Para encontrar a dimensão de , observamos que a equação define um plano, que é um subespaço de dimensão 2 em .

Passo 10

Vamos resumir as dimensões encontradas até agora:

Passo 11

Agora, vamos calcular a dimensão da soma dos subespaços . A fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços é:
Para aplicar essa fórmula, precisamos primeiro encontrar a dimensão da interseção .

Passo 12

Para encontrar , buscamos vetores que pertencem tanto a quanto a . Ou seja, queremos encontrar vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de e também como combinação linear dos vetores de .
Isso implica resolver o sistema:
Que leva a um sistema de equações:
Após resolver esse sistema, descobrimos que a única solução trivial é , indicando que a interseção é trivial, ou seja, contém apenas o vetor zero.
Portanto, .

Passo 13

Agora, aplicamos a fórmula da dimensão da soma:
Mas, como estamos no espaço , a dimensão máxima que um subespaço pode ter é 3. Portanto, .

Passo 14

Vamos agora encontrar a dimensão da interseção . Precisamos encontrar vetores que pertencem tanto a quanto a . Isso significa resolver o seguinte sistema:
Um vetor em pode ser escrito como .
E as condições para estar em são:
Substituindo as componentes do vetor de nas condições de :
Substituindo na primeira equação:
Então, o vetor na interseção é:
Isso indica que a interseção é uma reta, portanto, sua dimensão é 1.

Passo 15

Vamos finalizar com a dimensão de .
Usamos novamente a fórmula da soma de dimensões:

Resposta

As dimensões são:

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