No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determine as dimensões de: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as dimensões de vários subespaços no espaço tridimensional . Estamos lidando com subespaços como , , , e também combinações deles, como e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços, dimensão, soma de subespaços e intersecção de subespaços. Precisamos verificar a independência linear dos vetores que geram cada subespaço e aplicar algumas fórmulas básicas de álgebra linear.
Passo 2
Vamos começar determinando a dimensão do subespaço . Ele é gerado pelos vetores e . Para saber a dimensão, precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, então a dimensão de será 2; caso contrário, será 1.
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas:
Calculamos o determinante da matriz formada pelos vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de S é 2.
Passo 4
Agora, vamos determinar a dimensão do subespaço T, gerado pelos vetores (0,1,-1) e (1,2,1). Assim como fizemos para S, vamos verificar a independência linear desses vetores.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de T é 2.
Passo 6
Vamos agora analisar o subespaço U, definido pelas equações:
x + y = 4 x - z = 0
Isso representa um conjunto de vetores (x, y, z) que satisfazem essas duas equações.
Passo 7
Podemos resolver o sistema para expressar algumas variáveis em termos de outras.
Da segunda equação, temos:
x = z
Substituindo na primeira equação:
z + y = 4 Rightarrow y = 4 - z
Então, os vetores em U podem ser escritos como:
(z, 4 - z, z) = z(1, -1, 1) + (0,4,0)
Isso mostra que U é uma reta (pois há apenas uma variável livre, z), implicando que sua dimensão é 1.
Passo 8
Agora, vamos determinar a dimensão do subespaço V, definido pela equação:
3x - y - z = 0
Isto representa um plano no espaço R^3.
Passo 9
Para encontrar a dimensão de V, observamos que a equação define um plano, que é um subespaço de dimensão 2 em R^3.
Passo 10
Vamos resumir as dimensões encontradas até agora:
dim(S) = 2
dim(T) = 2
dim(U) = 1
dim(V) = 2
Passo 11
Agora, vamos calcular a dimensão da soma dos subespaços S+T. A fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços é:
dim(S+T) = dim(S) + dim(T) - dim(S cap T)
Para aplicar essa fórmula, precisamos primeiro encontrar a dimensão da interseção S cap T.
Passo 12
Para encontrar S cap T, buscamos vetores que pertencem tanto a S quanto a T. Ou seja, queremos encontrar vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de S e também como combinação linear dos vetores de T.
Isso implica resolver o sistema:
a(1,-1,2) + b(2,1,1) = c(0,1,-1) + d(1,2,1)
Que leva a um sistema de equações:
a + 2b = d - a + b = c + 2d 2a + b = -c + d
Após resolver esse sistema, descobrimos que a única solução trivial é a = b = c = d = 0, indicando que a interseção S cap T é trivial, ou seja, contém apenas o vetor zero.
Portanto, dim(S cap T) = 0.
Passo 13
Agora, aplicamos a fórmula da dimensão da soma:
dim(S+T) = 2 + 2 - 0 = 4
Mas, como estamos no espaço R^3, a dimensão máxima que um subespaço pode ter é 3. Portanto, dim(S+T) = 3.
Passo 14
Vamos agora encontrar a dimensão da interseção T cap U. Precisamos encontrar vetores que pertencem tanto a T quanto a U. Isso significa resolver o seguinte sistema:
Um vetor em T pode ser escrito como c(0,1,-1) + d(1,2,1) = (d, c + 2d, -c + d).
E as condições para estar em U são:
x + y = 4 x - z = 0
Substituindo as componentes do vetor de T nas condições de U:
d + (c + 2d) = 4 Rightarrow 3d + c = 4
d - (-c + d) = 0 Rightarrow d + c - d = c = 0
Substituindo c = 0 na primeira equação: 3d = 4 Rightarrow d = 43
Então, o vetor na interseção é:
(43, 0 + 2(43), -0 + 43) = (43, 83, 43)
Isso indica que a interseção T cap U é uma reta, portanto, sua dimensão é 1.