Demonstrar que a equação define um cone de vértice situado na origem dos eixos. Faça um esboço. Em seguida, dê uma parametrização para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a equação representa um cone chamado com o vértice na origem dos eixos. Além disso, temos que fazer um esboço desse cone e encontrar uma parametrização para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadricas e parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cone na geometria analítica. Um cone é uma superfície formada por todas as linhas retas que passam por um ponto fixo, chamado vértice. A equação geral de um cone pode ser escrita de forma quadrática, envolvendo os termos , e .
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada: . Essa é uma equação quadrática porque envolve termos de segundo grau (, ). Para verificar se ela realmente representa um cone, podemos comparar com a forma geral de uma equação de segundo grau para cones, que geralmente tem termos mistos como , ou .
Passo 4
Observando a equação , vemos que ela se encaixa na forma de um cone porque há um termo misto e o termo . Isso confirma que a superfície definida por essa equação é, de fato, um cone com vértice na origem dos eixos (0,0,0).
Passo 5
Agora, vamos fazer um esboço desse cone. Imagine a origem dos eixos como o ponto central. O cone se abre simetricamente ao redor do eixo , e suas “faces” se estendem de forma que qualquer linha reta que passe pelo vértice (origem) e siga a curva definida pela equação estará sobre a superfície do cone.
Passo 6
Para parametrizar o cone , precisamos expressar as coordenadas , e em termos de um ou mais parâmetros. Uma maneira comum de fazer isso é usando dois parâmetros e . Vamos definir:
Aqui, e são parâmetros livres que variam sobre os números reais. Com essa parametrização, garantimos que e . Para que , é necessário que , o que simplifica para . Portanto, podemos ajustar a parametrização para garantir essa relação.
Resposta
Assim, a equação define um cone com vértice na origem, cujo esboço apresenta simetria em torno do eixo . Uma parametrização para é dada por: