Achar a equação do círculo osculador da curva
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do círculo osculador da curva
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente derivadas e curvatura. Vamos precisar calcular a derivada da função, a curvatura no ponto dado e depois usar essas informações para encontrar o círculo que melhor “encaixa” na curva naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto.
A derivada de
em relação a
é:
No ponto
, substituímos
:
Então, a inclinação da tangente no ponto
é 0, ou seja, a reta tangente é horizontal.
Passo 3
Agora, vamos calcular a curvatura
da curva no ponto
. A curvatura nos diz o quanto a curva está “curvando” naquele ponto.
A fórmula da curvatura para uma função
é:
Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Agora, substituímos na fórmula da curvatura:
Passo 4
O raio de curvatura
é simplesmente o inverso da curvatura:
Então, o raio do círculo osculador é
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o centro do círculo osculador. Ele está localizado na direção da normal à curva no ponto
.
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Como a tangente tem inclinação 0 (é horizontal), a normal é uma reta vertical.
Portanto, o centro do círculo estará a uma distância
na direção da normal. Como a curvatura é positiva, o centro está para cima da curva.
Então, as coordenadas do centro
são:
Passo 6
Com o centro
e o raio
, podemos escrever a equação do círculo osculador usando a fórmula geral do círculo:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do círculo osculador da curva
no ponto
é: