Achar a equação do círculo osculador da curva y = 2 x^2, no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do círculo osculador da curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente derivadas e curvatura. Vamos precisar calcular a derivada da função, a curvatura no ponto dado e depois usar essas informações para encontrar o círculo que melhor “encaixa” na curva naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto.
A derivada de em relação a é:
No ponto , substituímos :
Então, a inclinação da tangente no ponto é 0, ou seja, a reta tangente é horizontal.

Passo 3

Agora, vamos calcular a curvatura da curva no ponto . A curvatura nos diz o quanto a curva está “curvando” naquele ponto.
A fórmula da curvatura para uma função é:
Primeiro, encontramos a segunda derivada :
Agora, substituímos na fórmula da curvatura:

Passo 4

O raio de curvatura é simplesmente o inverso da curvatura:
Então, o raio do círculo osculador é .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o centro do círculo osculador. Ele está localizado na direção da normal à curva no ponto .
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Como a tangente tem inclinação 0 (é horizontal), a normal é uma reta vertical.
Portanto, o centro do círculo estará a uma distância na direção da normal. Como a curvatura é positiva, o centro está para cima da curva.
Então, as coordenadas do centro são:

Passo 6

Com o centro e o raio , podemos escrever a equação do círculo osculador usando a fórmula geral do círculo:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do círculo osculador da curva no ponto é:

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