No exercício a seguir, exprese partial zpartial u e partial zpartial v como funções de u e v utilizando a regra da cadeia, em seguida calcule partial zpartial u e partial zpartial v no ponto (u, v) dado.
(a) z=4 e^x ln y, x=ln (u cos v), y=u sen v,(u, v)=(2, pi4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função que depende de e , e e são, por sua vez, funções de e . O que precisamos fazer é encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Depois, vamos calcular esses valores no ponto específico .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
z = 4 e^x ln y
x = ln(u cos v)
y = u sin v
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de e . Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Essa regra nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u
partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial zpartial x = 4 e^x ln y e partial zpartial y = 4 e^x cdot 1y :

Passo 5

Agora, vamos encontrar x = ln(u cos v) e partial xpartial u = 1u cos v cdot cos v = 1u :
partial xpartial v = 1u cos v cdot (-u sin v) = -tan v
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos derivar y = u sin v e partial ypartial u = sin v :
partial ypartial v = u cos v
Para :
Para :

Passo 7

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Para partial zpartial u = (4 e^x ln y) cdot 1u + (4 e^x cdot 1y) cdot sin v :
partial zpartial v = (4 e^x ln y) cdot (-tan v) + (4 e^x cdot 1y) cdot u cos v
Para :

Passo 8

Agora, vamos simplificar as expressões:
Para partial zpartial u = 4 e^x ln yu + 4 e^x sin vy :
partial zpartial v = -4 e^x ln y tan v + 4 e^x u cos vy
Para :

Passo 9

Agora, substituímos as expressões de x = ln(u cos v) e y = u sin v em termos de partial zpartial u = 4 e^ln(u cos v) ln(u sin v)u + 4 e^ln(u cos v) sin vu sin v e partial zpartial u = 4 (u cos v) ln(u sin v)u + 4 (u cos v) sin vu sin v :
partial zpartial u = 4 cos v ln(u sin v) + 4 cos v
partial zpartial v = -4 (u cos v) ln(u sin v) tan v + 4 (u cos v) u cos vu sin v
Substituindo:
Para partial zpartial v = -4 u cos v ln(u sin v) tan v + 4 u cos^2 vsin v :
Simplificando :
Para :
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, vamos calcular u = 2 e v = pi4 no ponto cos (pi4) = raiz22 .
Primeiro, vamos calcular os valores das funções no ponto:
sin (pi4) = raiz22
u sin v = 2 cdot raiz22 = raiz2
u cos v = 2 cdot raiz22 = raiz2
tan v = 1
partial zpartial u = 4 cdot raiz22 ln(raiz2) + 4 cdot raiz22
partial zpartial u = 2raiz2 ln(raiz2) + 2raiz2
ln(raiz2) = 12 ln 2
Substituindo na expressão de partial zpartial u = 2raiz2 cdot 12 ln 2 + 2raiz2 = raiz2 ln 2 + 2raiz2 :
partial zpartial u = raiz2 (ln 2 + 2)
partial zpartial v = -4 cdot 2 cdot raiz22 ln(raiz2) cdot 1 + 4 cdot 2 cdot (raiz22)^2raiz22
partial zpartial v = -4 raiz2 cdot 12 ln 2 + 4 cdot 2 cdot 24raiz22
partial zpartial v = -2 raiz2 ln 2 + 4 cdot 1raiz22 = -2 raiz2 ln 2 + 4 cdot 2raiz2 = -2 raiz2 ln 2 + 8raiz2
partial zpartial v = -2 raiz2 ln 2 + 4 raiz2 = raiz2 (-2 ln 2 + 4) = raiz2 (4 - 2 ln 2)
Agora, para :

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial zpartial u = raiz2 (ln 2 + 2) são:
partial zpartial v = raiz2 (4 - 2 ln 2)

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