No exercício a seguir, exprese
e
como funções de
e
utilizando a regra da cadeia, em seguida calcule
e
no ponto
dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
que depende de
e
, e
e
são, por sua vez, funções de
e
. O que precisamos fazer é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Depois, vamos calcular esses valores no ponto específico
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
Aqui,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Essa regra nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculamos
e
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos derivar
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos simplificar as expressões:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, substituímos as expressões de
e
em termos de
e
:
Substituindo:
Para
:
Simplificando
:
Para
:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, vamos calcular
e
no ponto
.
Primeiro, vamos calcular os valores das funções no ponto:
Substituindo na expressão de
:
Agora, para
:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são: