Determinar a equação da superfície cilíndrica que tem como diretriz a curva de equações reduzidas e cuja geratriz é paralela à reta de equações reduzidas , .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma superfície cilíndrica que tem como diretriz a curva e cuja geratriz é paralela à reta . Para resolver isso, vamos precisar saber como representar uma superfície cilíndrica, entender o que são diretriz e geratriz, e como a direção da reta dada influencia na formação da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a diretriz da superfície cilíndrica. A diretriz é a curva que, ao ser “movimentada” ao longo da geratriz, gera toda a superfície. Neste caso, a diretriz é a parábola definida por no plano .
Passo 3
Agora, vamos analisar a geratriz da superfície. A geratriz é uma reta que se move paralelamente ao longo da diretriz para formar a superfície. A geratriz neste exercício é paralela à reta . Precisamos encontrar a direção dessa reta para determinar como a geratriz estará orientada.
Passo 4
Vamos encontrar o vetor diretor da reta . Podemos reescrever as equações paramétricas da reta assumindo :
O vetor diretor dessa reta é , pois os coeficientes de são iguais em todas as direções.
Passo 5
Como a geratriz da superfície cilíndrica é paralela à reta , o vetor diretor da geratriz também será . Isso significa que, à medida que a geratriz se move ao longo da diretriz, ela mantém essa direção constante, formando a superfície desejada.
Passo 6
A equação geral de uma superfície cilíndrica pode ser obtida relacionando a diretriz e a geratriz. Aqui, vamos parametrizar a superfície usando um parâmetro para representar o movimento da geratriz ao longo da diretriz.
Passo 7
Vamos parametrizar a superfície. Seja o parâmetro que representa o deslocamento ao longo da geratriz. A diretriz está no plano e é dada por . Então, um ponto na diretriz pode ser representado por , onde .
À medida que a geratriz se move, as coordenadas se tornam:
Passo 8
Como , podemos expressar em termos de :
Substituindo na equação de :
Passo 9
Observando que , podemos resolver para :
Substituindo na equação de :
Passo 10
Explicando a equação acima, estamos relacionando as coordenadas e da superfície com o parâmetro . Nosso objetivo é eliminar para obter uma relação direta entre , e .
Observando que , podemos substituir por :
Passo 11
Expandindo a equação:
Multiplicando termos:
Passo 12
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Rearranjando os termos:
Passo 13
Essa é a equação final da superfície cilíndrica que satisfaz as condições do exercício. Ela relaciona diretamente as coordenadas , e de qualquer ponto na superfície.