Determine o raio de convergência (rho) da série: sumk=2^infty kln k(z+1)^k;

Passo 1

Resumo do exercício:
Precisamos determinar o raio de convergência da série .
Conteúdo da matéria:
Estamos trabalhando com séries de potências e, mais especificamente, com o conceito de raio de convergência que indica para quais valores de a série converge.
O que vamos precisar:
Para resolver este problema, utilizaremos o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão:
O Teste da Razão nos diz que, para uma série rho = limk to infty | akak+1 | , o raio de convergência ak = kln k pode ser encontrado usando:
No nosso caso, a série é , então temos:

Passo 3

Calculando o limite necessário:
Aplicando o Teste da Razão:
rho = limk to infty | kln kk+1ln(k+1) | = limk to infty k cdot ln(k+1)(k+1) cdot ln k
Simplificando:
rho = limk to infty ln(k+1)ln k cdot kk+1

Passo 4

Resolvendo o limite:
Vamos analisar os dois componentes do limite separadamente:
  1. limk to infty ln(k+1)ln k = 1 :
    Podemos escrever limk to infty 11 + 1k = 1 . Quando rho = 1 times 1 = 1 cresce, , que tende a 0. Portanto:
  2. :
    Dividindo numerador e denominador por :
Multiplicando os dois limites:

Resposta

O raio de convergência da série é 1.

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