Resumo do exercício:
Precisamos determinar o raio de convergência da série .
Conteúdo da matéria:
Estamos trabalhando com séries de potências e, mais especificamente, com o conceito de raio de convergência que indica para quais valores de a série converge.
O que vamos precisar:
Para resolver este problema, utilizaremos o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Aplicando o Teste da Razão:
O Teste da Razão nos diz que, para uma série , o raio de convergência pode ser encontrado usando:
No nosso caso, a série é , então temos:
Passo 3
Calculando o limite necessário:
Aplicando o Teste da Razão:
rho = limk to infty | kln kk+1ln(k+1) | = limk to infty k cdot ln(k+1)(k+1) cdot ln k
Simplificando:
rho = limk to infty ln(k+1)ln k cdot kk+1
Passo 4
Resolvendo o limite:
Vamos analisar os dois componentes do limite separadamente:
limk to infty ln(k+1)ln k = 1 :
Podemos escrever limk to infty 11 + 1k = 1 . Quando rho = 1 times 1 = 1 cresce, , que tende a 0. Portanto: