y' = e^(y/x) + y/x

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial que diz que a derivada de em relação a , ou seja, , é igual a . A matéria envolvida é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a usando a regra do produto:
Substituímos isso na equação original:

Passo 4

Os termos se cancelam dos dois lados:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 6

Integrando os dois lados:
O lado esquerdo integra para e o lado direito integra para , onde é a constante de integração:

Passo 7

Resolvendo para :
Onde é uma nova constante. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante arbitrária.

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