Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial que diz que a derivada de
em relação a
, ou seja,
, é igual a
. A matéria envolvida é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra do produto:
Substituímos isso na equação original:
Passo 4
Os termos
se cancelam dos dois lados:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Integrando os dois lados:
O lado esquerdo integra para
e o lado direito integra para
, onde
é a constante de integração:
Passo 7
Resolvendo para
:
Onde
é uma nova constante. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante arbitrária.