Achar a equação dimensional da constante de gravidade universal e da constante elástica da mola, em relação a comprimento, massa e tempo.
Resposta: [G]=L^3 M^-1 T^-2 e [K]=M T^-2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação dimensional da constante de gravidade universal e da constante elástica da mola . Isso significa expressar essas constantes em termos das dimensões de comprimento , massa e tempo . Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a entender como diferentes grandezas físicas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que é:
F = G m1 m2r^2
Aqui, é a força gravitacional, e são as massas dos dois corpos, é a distância entre eles, e é a constante de gravidade universal que queremos encontrar a dimensão.

Passo 3

Sabemos que a força [F] = M cdot LT^-2 = M L T^-2 tem dimensão de massa vezes aceleração. A aceleração tem dimensão de comprimento dividido pelo tempo ao quadrado ( ). Então, a dimensão de é:

Passo 4

Agora, vamos analisar a expressão [ m1 m2r^2 ] = M cdot ML^2 = M^2 L^-2 . As massas e t��m dimensão , e a distância tem dimensão . Portanto:

Passo 5

Voltando à equação da força, temos:
[F] = [G] cdot [ m1 m2r^2 ]
Substituindo as dimensões que encontramos:
M L T^-2 = [G] cdot M^2 L^-2
Para isolar [G] = M L T^-2M^2 L^-2 = L^3 M^-1 T^-2 , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a dimensão da constante elástica da mola F = K cdot x . A Lei de Hooke nos diz que:
Onde é a força aplicada e é o deslocamento da mola.

Passo 7

Rearranjando a equação para encontrar K = Fx :
[K] = M L T^-2L = M T^-2
Sabemos que e . Então:

Resposta

[G] = L^3 M^-1 T^-2 e [K] = M T^-2

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