Dada a equação dimensionalmente homogênea:
onde é a pressão, é a quantidade de movimento, e e é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas e em relação ao .
Resposta: e

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que é dimensionalmente homogênea, ou seja, todas as partes da equação devem ter as mesmas dimensões. A equação dada é:
Aqui, sabemos que:
  • é a pressão,
  • é a quantidade de movimento,
  • é a base dos logaritmos neperianos.
Nosso objetivo é determinar as dimensões das grandezas , e no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma equação dimensionalmente homogênea, todas as parcelas da equação devem ter as mesmas dimensões. Isso significa que as dimensões de devem ser iguais às dimensões de e também iguais às dimensões de .

Passo 3

Vamos identificar as dimensões conhecidas:
  • A pressão tem dimensão de , onde:
    • é a massa,
    • é o comprimento,
    • é o tempo.
    Então, podemos escrever:
  • A quantidade de movimento tem dimensão de .
    Portanto:

Passo 4

Agora, vamos analisar a expressão . Como é a base do logaritmo natural, seu expoente deve ser adimensional (sem dimensão). Isso significa que a fração deve ser adimensional.
Vamos representar as dimensões de como .
A condição para que seja adimensional é:
Substituindo as dimensões conhecidas:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as dimensões de e .
A expressão tem as dimensões de multiplicadas por , ou seja, apenas .
Calculando:
Portanto:

Resposta

As dimensões das grandezas são e .

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Achar a equação dimensional da constante de gravidade universal e da constante elástica da mola, em relação a comprimento, massa e tempo.
Resposta: e
Achar a equação dimensional, em LMT, da grandeza definida da seguinte forma:
ã
Resposta:
áá
Na equação
é a força, é o comprimento e é a massa específica volumétrica. Determinar os valores de e para os quais esta equação seja dimensionalmente homogênea a
Resposta: e