Dada a equação dimensionalmente homogênea:
onde
é a pressão,
é a quantidade de movimento, e e é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas
e
em relação ao
.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que é dimensionalmente homogênea, ou seja, todas as partes da equação devem ter as mesmas dimensões. A equação dada é:
Aqui, sabemos que:
-
é a pressão, -
é a quantidade de movimento, -
é a base dos logaritmos neperianos.
Nosso objetivo é determinar as dimensões das grandezas
,
e
no Sistema Internacional de Unidades (SI).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma equação dimensionalmente homogênea, todas as parcelas da equação devem ter as mesmas dimensões. Isso significa que as dimensões de
devem ser iguais às dimensões de
e também iguais às dimensões de
.
Passo 3
Vamos identificar as dimensões conhecidas:
-
A pressão
tem dimensão de , onde: -
é a massa, -
é o comprimento, -
é o tempo.
Então, podemos escrever: -
-
A quantidade de movimento
tem dimensão de . Portanto:
Passo 4
Agora, vamos analisar a expressão
. Como
é a base do logaritmo natural, seu expoente deve ser adimensional (sem dimensão). Isso significa que a fração
deve ser adimensional.
Vamos representar as dimensões de
como
.
A condição para que
seja adimensional é:
Substituindo as dimensões conhecidas:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as dimensões de
e
.
A expressão
tem as dimensões de
multiplicadas por
, ou seja, apenas
.
Calculando:
Portanto:
Resposta
As dimensões das grandezas são
e
.
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Resposta: e
Resposta:
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definida da seguinte forma:
Resposta:
Na equação
Resposta: