Dada a equação dimensionalmente homogênea:
A=B C e^B DC+E
onde B é a pressão, C é a quantidade de movimento, e e é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas A, B e E em relação ao S I.
Resposta: [A]=[E]=M^2 T^-3 e [B]=M L^-1 T^-2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que é dimensionalmente homogênea, ou seja, todas as partes da equação devem ter as mesmas dimensões. A equação dada é:
A = B cdot C cdot e^B cdot DC + E
Aqui, sabemos que:
  • é a pressão,
  • é a quantidade de movimento,
  • é a base dos logaritmos neperianos.
Nosso objetivo é determinar as dimensões das grandezas , e no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma equação dimensionalmente homogênea, todas as parcelas da equação devem ter as mesmas dimensões. Isso significa que as dimensões de devem ser iguais às dimensões de e também iguais às dimensões de .

Passo 3

Vamos identificar as dimensões conhecidas:
  • A pressão [B] = M cdot L^-1 cdot T^-2 tem dimensão de [C] = M cdot L cdot T^-1 , onde:
    • é a massa,
    • é o comprimento,
    • é o tempo.
    Então, podemos escrever:
  • A quantidade de movimento tem dimensão de .
    Portanto:

Passo 4

Agora, vamos analisar a expressão [B] cdot [D][C] = 1 . Como (M cdot L^-1 cdot T^-2) cdot [D]M cdot L cdot T^-1 = 1 é a base do logaritmo natural, seu expoente deve ser adimensional (sem dimensão). Isso significa que a fração [D]L^2 cdot T^-1 = 1 Rightarrow [D] = L^2 cdot T^-1 deve ser adimensional.
Vamos representar as dimensões de como .
A condição para que seja adimensional é:
Substituindo as dimensões conhecidas:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as dimensões de [B] cdot [C] = (M cdot L^-1 cdot T^-2) cdot (M cdot L cdot T^-1) = M^2 cdot T^-3 e [A] = [E] = M^2 cdot T^-3 .
A expressão tem as dimensões de multiplicadas por , ou seja, apenas .
Calculando:
Portanto:

Resposta

As dimensões das grandezas são e .

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