Achar a equação dimensional, em relação ao comprimento, massa e tempo, da grandeza G definida pela igualdade
G=F srho V
onde F é a força, s é o comprimento, rho é a densidade e V é o volume. A gradeza G é homogênea a que?
Resposta: [G]=L^2 T^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação dimensional da grandeza G = F cdot srho cdot V em termos de comprimento ( ), massa ( ) e tempo ( ). A equação que define é:
Aqui, é a força, é o comprimento, é a densidade e é o volume. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas grandezas se relaciona com , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das dimensões básicas de cada uma das grandezas envolvidas:
  • Força ( [F] = M cdot LT^2 = M L T^-2 ): A força tem dimensão de massa vezes aceleração. A aceleração é comprimento dividido por tempo ao quadrado, então:
    [s] = L
  • Comprimento ( [rho] = ML^3 = M L^-3 ): Simplesmente a dimensão de comprimento:
    [V] = L^3
  • Densidade ( ): Densidade é massa por volume. Volume tem dimensão de comprimento ao cubo, então:
  • Volume ( ): Como mencionei, volume é comprimento ao cubo:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas dimensões na equação que define [G] = [F] cdot [s][rho] cdot [V] :
[G] = (M L T^-2) cdot L(M L^-3) cdot L^3
Substituindo cada dimensão:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, multiplique (M L T^-2) cdot L = M L^2 T^-2 e (M L^-3) cdot L^3 = M :
Agora, multiplique e :

Passo 5

Agora, vamos dividir os resultados das duas multiplicações:
M L^2 T^-2M = L^2 T^-2
Observe que a massa ( ) se cancela, ficando apenas as dimensões de comprimento e tempo.

Passo 6

Então, a equação dimensional final de [G] = L^2 T^-2 é:

Resposta

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