Nas equações dadas a seguir, onde e é a base dos logaritmos neperianos, determinar a equação dimensional, no SI, das grandezas
e d
(a) Equação da velocidade
no instante
, de uma esfera de massa
, descendo em um fluido viscoso.
(b) Equação da pressão P na atmosfera terrestre a uma altitude de h acima do nível do mar;
é a aceleração da gravidade suposta constante
© Equação de Grashof que fornece a força de tração F em uma corda, de diâmetro d, quando esta está sujeita a uma força
. O raio de curvatura da corda está indicado por
.
Resposta: (a)
(b)
©
(a) Equação da velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são três equações que envolvem diferentes grandezas físicas, e precisamos descobrir as dimensões de algumas constantes nessas equações usando o Sistema Internacional de Unidades (SI). Vamos usar a Análise Dimensional, que é uma técnica para verificar a consistência das equações físicas e encontrar as dimensões das grandezas desconhecidas.
Passo 2
Parte (a): Equação da velocidade
A equação dada é:
Aqui,
é a velocidade,
o tempo,
a massa, e precisamos encontrar as dimensões de
e
.
Primeiro, sabemos que a velocidade
tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja,
.
O termo exponencial
deve ser adimensional porque a função exponencial só aceita argumentos sem dimensão. Portanto,
é adimensional.
Vamos encontrar as dimensões de
:
Agora, como
é adimensional, a constante
deve ter as mesmas dimensões de
para que o produto
resulte em
:
Passo 3
Parte (b): Equação da pressão na atmosfera
A equação dada é:
Aqui,
é a pressão,
a altura,
a aceleração da gravidade, e queremos encontrar as dimensões de
e
.
A pressão
tem dimensão de força por área, ou seja,
.
Novamente, o argumento do exponencial
deve ser adimensional:
Sabemos que
e
.
Então:
Agora, a constante
está multiplicando o exponencial adimensional para resultar em
, então:
Passo 4
Parte ©: Equação de Grashof para a força de tração
A equação dada é:
Aqui,
e
são forças,
o raio de curvatura,
o diâmetro, e queremos encontrar as dimensões de
e
.
A força
tem dimensão
.
Vamos analisar os termos dentro do parênteses:
-
: , , então . -
: Para que tenha a mesma dimensão que , .
Além disso,
deve ser adimensional para que multiplicado por
resulte em
:
Isso implica que tanto
quanto
devem ter a dimensão
.
Então:
Mas, observando a equação original, percebemos que faltou considerar o diâmetro
. Para balancear as dimensões, na verdade:
Resposta
(a)
;
(b) ;
© ;
(b)
©