Nas equações dadas a seguir, onde e é a base dos logaritmos neperianos, determinar a equação dimensional, no SI, das grandezas e d
(a) Equação da velocidade no instante , de uma esfera de massa , descendo em um fluido viscoso.
(b) Equação da pressão P na atmosfera terrestre a uma altitude de h acima do nível do mar; é a aceleração da gravidade suposta constante
© Equação de Grashof que fornece a força de tração F em uma corda, de diâmetro d, quando esta está sujeita a uma força . O raio de curvatura da corda está indicado por .
Resposta: (a) (b) ©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são três equações que envolvem diferentes grandezas físicas, e precisamos descobrir as dimensões de algumas constantes nessas equações usando o Sistema Internacional de Unidades (SI). Vamos usar a Análise Dimensional, que é uma técnica para verificar a consistência das equações físicas e encontrar as dimensões das grandezas desconhecidas.

Passo 2

Parte (a): Equação da velocidade
A equação dada é:
Aqui, é a velocidade, o tempo, a massa, e precisamos encontrar as dimensões de e .
Primeiro, sabemos que a velocidade tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja, .
O termo exponencial deve ser adimensional porque a função exponencial só aceita argumentos sem dimensão. Portanto, é adimensional.
Vamos encontrar as dimensões de :
Agora, como é adimensional, a constante deve ter as mesmas dimensões de para que o produto resulte em :

Passo 3

Parte (b): Equação da pressão na atmosfera
A equação dada é:
Aqui, é a pressão, a altura, a aceleração da gravidade, e queremos encontrar as dimensões de e .
A pressão tem dimensão de força por área, ou seja, .
Novamente, o argumento do exponencial deve ser adimensional:
Sabemos que e .
Então:
Agora, a constante está multiplicando o exponencial adimensional para resultar em , então:

Passo 4

Parte ©: Equação de Grashof para a força de tração
A equação dada é:
Aqui, e são forças, o raio de curvatura, o diâmetro, e queremos encontrar as dimensões de e .
A força tem dimensão .
Vamos analisar os termos dentro do parênteses:
  • : , , então .
  • : Para que tenha a mesma dimensão que , .
Além disso, deve ser adimensional para que multiplicado por resulte em :
Isso implica que tanto quanto devem ter a dimensão .
Então:
Mas, observando a equação original, percebemos que faltou considerar o diâmetro . Para balancear as dimensões, na verdade:

Resposta

(a) ;
(b) ;
© ;

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Resposta: