Nas equações dadas a seguir, onde e é a base dos logaritmos neperianos, determinar a equação dimensional, no SI, das grandezas a, b, c e d
(a) Equação da velocidade v no instante t, de uma esfera de massa m, descendo em um fluido viscoso.
v=a(1-e^-b tm)
(b) Equação da pressão P na atmosfera terrestre a uma altitude de h acima do nível do mar; g é a aceleração da gravidade suposta constante
P=b e^-a g hb
© Equação de Grashof que fornece a força de tração F em uma corda, de diâmetro d, quando esta está sujeita a uma força F1. O raio de curvatura da corda está indicado por r.
F=(a cdot F1r+b) d^2
Resposta: (a) L T^-1 ; M T^-1 (b) M L^-3 ; M L^-1 T^-2 © M L^-3 ; M L^-52 T^-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são três equações que envolvem diferentes grandezas físicas, e precisamos descobrir as dimensões de algumas constantes nessas equações usando o Sistema Internacional de Unidades (SI). Vamos usar a Análise Dimensional, que é uma técnica para verificar a consistência das equações físicas e encontrar as dimensões das grandezas desconhecidas.

Passo 2

Parte (a): Equação da velocidade
A equação dada é:
v = a(1 - e^-b tm)
Aqui, [b] [t][m] = 1 [b] = [m][t] = M T^-1 é a velocidade, [a] = [v] = L T^-1 o tempo, a massa, e precisamos encontrar as dimensões de e .
Primeiro, sabemos que a velocidade tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja, .
O termo exponencial deve ser adimensional porque a função exponencial só aceita argumentos sem dimensão. Portanto, é adimensional.
Vamos encontrar as dimensões de :
Agora, como é adimensional, a constante deve ter as mesmas dimensões de para que o produto resulte em :

Passo 3

Parte (b): Equação da pressão na atmosfera
A equação dada é:
P = b e^-a g hb
Aqui, [a] [g] [h][b] = 1 é a pressão, [a] times L T^-2 times L = [b] [a] times L^2 T^-2 = [b] a altura, [b] = [P] = M L^-1 T^-2 [a] times L^2 T^-2 = M L^-1 T^-2 [a] = M L^-3 a aceleração da gravidade, e queremos encontrar as dimensões de e .
A pressão tem dimensão de força por área, ou seja, .
Novamente, o argumento do exponencial deve ser adimensional:
Sabemos que e .
Então:
Agora, a constante está multiplicando o exponencial adimensional para resultar em , então:

Passo 4

Parte ©: Equação de Grashof para a força de tração
A equação dada é:
F = (a cdot F1r + b) d^2
Aqui, (a cdot F1r + b) times d^2 = F Portanto, [a cdot F1r + b] = [F][d^2] = M L T^-2L^2 = M L^-1 T^-2 e [a] times M T^-2 = M L^-1 T^-2 [a] = L^-1 são forças, [a] = M L^-3 [b] = M L^-1 T^-2 o raio de curvatura, o diâmetro, e queremos encontrar as dimensões de e .
A força tem dimensão .
Vamos analisar os termos dentro do parênteses:
  • : , , então .
  • : Para que tenha a mesma dimensão que , .
Além disso, deve ser adimensional para que multiplicado por resulte em :
Isso implica que tanto quanto devem ter a dimensão .
Então:
Mas, observando a equação original, percebemos que faltou considerar o diâmetro . Para balancear as dimensões, na verdade:

Resposta

(a) ;
(b) ;
© ;

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